Solution Set -「NOIP Simu.」20221024

$\mathscr{A}\sim$ 断

  给定一棵含有 $n$ 个点的树, 所有点初始时为白色. 再给出 $m$ 个形如 $(u,v)$ 的点对, 要求 $u$ 到 $v$ 的简单路径上存在至少一个黑点. 求最少将多少个点涂黑, 给出一组方案.

  $n,m\le2\times10^6$.

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  Tag:「水题无 tag」

  随便选个根, 然后递归构造, 能不涂黑就不黑. 可以容易做到 $\mathcal O(n+m\log n)$, 卡卡常能过. 如果写个四毛子求 LCA 可以做到 $\mathcal O(n+m)$.

$\mathscr{B}\sim$ 数

  称一棵含有 $n$ 个点, 以 $1$ 为根的有根树合法, 当且仅当对于 $u\in[1,n)$, 都有 $|p_u-p_{u+1}|=1$, 其中 $p_u$ 表示 $u$ 的父亲, $p_1=0$. 求所有合法树中, 点 $k$ 的孩子数量和. 答案模 $998244353$.

  $n,k\le2\times10^6$.

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  Tags:「A.数学-数学推导」「B.模型转化」

  若按标号升序确定每个结点的父亲, 那么点 $u$ 的位置选取只于 $p_{u-1}$ 有关. 此时有一个简单的 $\mathcal O(n^2)$ DP: $f(i,j)$ 表示考虑了前 $i$ 个点, $p_i=j$ 时合法树的数量, $g(i,j)$ 表示考虑了前 $i$ 个点, $p_i=j$ 时点 $k$ 的孩子总数, 可以 $\mathcal O(1)$ 转移.

  接下来的一步也很自然: 以 $f$ 的转移为例, 设一次转移由 $(i,j)$ 贡献向 $(i',j')$, 此时必然有 $i'-i=1$, $j'-j=\pm 1$, 转移系数为 $1$, 因此这就是在坐标轴上画一条折线, $f$ 的值就是某种折线的方案数.

  有了这个观察, 更细致的描述便是: $f(i,j)~(i>1)$ 表示从 $(2,1)$ 出发, 走到 $(i,j)$, 仅使用位移 $(1,\pm 1)$, 且不触碰 $y=0$ 的折线数量. 对应的, $g$ 则描述了所有折线于 $y=k$ 的交点数量之和. 我们只需要求出这个和即可.

  直接枚举交点位置 $(x,k)$, $(2,1)\to (x,k)$ 的方案数就是 Catalan 数, $(x,k)\to (n,\star)$ 的方案数是一堆 Catalan 数之和, 其实就是杨辉三角第 $n$ 行上的一段前缀减一段后缀. 如果降序枚举 $x$, 所求前后缀的长度每次变化量不超过 $1$, 而组合数行区间和很好递推 --- 将上一行的和 $\times2$, 再修补边界上常数个值就能得到这一行的和. 这样的递推可以 $\mathcal O(1)$ 完成. 最终算法复杂度为 $\mathcal O(n)$.

$\mathscr{C}\sim$ 覆 *

  有 $n$ 个集合 $S_{1..n}$, 初始全空. 给出 $m$ 次操作, 每次操作形如:

1. 给出 $l,r,c$, $\forall i\in[l,r]$, 令 $S_i\gets S_i\cup\{c\}$.
2. 给出 $l,r$, 求出 $\left|\bigcup_{i=l}^rS_i\right|$.

  $n,m\le10^5$.

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  Tags:「A.分治-CDQ 分治」「B.离线」

  被离奇的 $32\text{Mib}$ 空限整得胡思乱想, 但你看我没把这事儿写在数据范围里说明其中并不重要 qwq.

  "包含某个元素" 并不好简单表示, 但 "不包含某个元素", 也即是 "处于这个元素的某个空白区间", 再考虑上时间轴, 就是一个三维偏序样的贡献. 用类似 Chtholly Tree 的东西维护每种元素的空白区间, 在空白区间变更时作为三维偏序的事件加入队列. 最后对事件队列做一个 CDQ 分治算出答案即可. 复杂度 $\mathcal O(m\log m\log n)$.

$\mathscr{D}\sim$ 构

  给定 $n$, 构造一个 $\{a_n\}$, 使得 $a_i$ 恰为 $i-1$ 在 $\{a_n\}$ 中的出现次数.

  $n\le2\times10^6$.

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  Tag:「A.构造」

  一道标准的, 写个暴搜就会正解的构造.

  暴搜告诉我们: $n=1,2,3,6$ 无解, 其他 $n\le10$ 有解; 当 $n\ge7$ 的时候容易看出规律:

$$a=[n-4,2,1,0,\dots,0,1,0,0,0].$$

结束了. 当然是 $\mathcal O(n)$ 的.