Solution Set -「NOIP Simu.」20221014

$\mathscr{A}\sim$「Unknown」tothecrazyones

  有 $n$ 堆石子, 第 $i$ 堆有 $a_i$ 个. Alice 和 Bob 轮流抓取, Alice 每次从至少一堆石子中每堆拿走恰好 $x$ 个, Bob 每次从至少一堆石子中每堆拿走恰好 $y$ 个, 不能操作者负. 求胜者.

  多测, $\sum n\le5\times10^5$, $x,y,a_i\le10^9$.

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  Tag:「水题无 tag」

  经验使然, 先 $a_i\gets a_i\bmod (x+y)$, 后面的结论好说, 只要 $\sum[a_i\ge x]>0$ 且 $\sum[a_i\ge x]\ge\sum [a_i\ge y]$ 就 Alice 必胜, 否则 Bob 必胜. 大样例测过就交了, 所以签到比较迅速. 证明的 $\bmod (x+y)$ 的正确性并不复杂, 这里就咕啦.

$\mathscr{B}\sim$「Unknown」vmefifty

  给定 $\{a_n\}$, 每次可以删除相邻且值不同的一对 $a_i$ 和 $a_{i+1}$, 求至少删多少次让 $\{a_{n'}\}$ 全部相同.

  多测, $T\le5$, $n\le2\times10^3$.

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  Tags:「A.DP-杂项」「C.性质/结论」

  如何判断 $a[\ell:r]$ 能否被删空? 显然, 充要条件是 $2\mid(r-l+1)$ 且 $a[\ell:r]$ 中不存在严格众数.

  那么这里就有一个暴力 $\mathcal O(n^3)$ DP, 令 $f(i,j)$ 表示将 $a[1:i]$ 处理直至所有值为 $j$, 最多保留多少个值. 转移时枚举最近一段删除区间.

  优化? 注意到 $[x,y]$ 可删且 $[y+1,z]$ 可删 $\Rightarrow [x,z]$ 可删, 而转移 $f$ 时我们只关心是否有 $a_i=j$. 也就是说, 只要一段区间里没有 $j$, 我们没必要去考虑怎么一点一点把区间删掉, 而只是在意这段东西被删完后, 我下一个能去到的 $a_i=j$ 在哪里. 因此我们只需要对 $a_i=j$ 的位置做 $f(i,j)$ 的转移. 这样复杂度就是 $\mathcal O(Tn^2)$ 了.

$\mathscr{C}\sim$「CF 662C」Binary Table

  Link & Solution.

$\mathscr{D}\sim$「CF 1034C」Region Separation

  Link.

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  Tag:「水题无 tag」

  检查一下 $1\sim n$ 里 $\sum a$ 的因子是否合法, 在固定每个连通块点权后, 划分方案若存在则唯一. 之后 $\mathcal O(n\log n)$ DP 一下切分方案数即可.