Solution Set -「NOIP Simu.」20221008

$\mathscr{A}\sim$「CF 1680E」Moving Chips

  Link & Submission.

---

  Tag:「水题无 tag」

  温暖签到惹, DP 一下就好了. 注意不要因为觉得 "能贪心" 就一直贪心, 挂了老半天.

$\mathscr{B}\sim$「CF 1562E」Rescue Niwen! *

  Link & Submission.

---

  Tag:「水题无 tag」

  没做出来是因为部分分太多, 加之 D 因为读错题不会做 qwq.

  分析一下最优答案的性质, SA 完 DP 就行.

$\mathscr{C}\sim$「CF 896D」Nephren Runs a Cinema

  Link & Submission.

---

  Tag:「A.数学-组合计数」

  显然是个 Catalan 升级版. 设 $f(x,y)$ 表示从 $(0,0)$ 出发, 使用位移 $\{(1,-1),(1,0),(1,1)\}$ 无限制地走到 $(x,y)$ 的方案数. 那么

$$\begin{aligned} \textit{ans} &= \sum_{i=l}^rf(n,i)-\sum_{i=-(r+2)}^{-(l+2)}f(n,i)\\ &= \sum_{i=l}^rf(n,i)-\sum_{i=l+2}^{r+2}f(n,i)\\ &= f(n,l)+f(n,1)-f(n,r+1)-f(n,r+2). \end{aligned}$$

  然后来看看 $f(x,y)$, 枚举 $(1,0)$ 的使用个数可知:

$$f(x,y)=\sum_{i\ge 0,x-i\ge y,2\mid(x-i+y)}\binom{x}{i,(x-i+y)/2}.$$

组合数? 阶乘做除法嘛, $p$ 是和数? 令 $k!=r_i\prod p_i^{\alpha_{k,i}}$, 除法就可以直接抵消指数了. 复杂度 $\mathcal O(n\log p)$.

$\mathscr{D}\sim$「CF 1510B」Button Lock

  Link & Submission.

---

  Tag:「A.图论-网络流-费用流」

  读对题那就很简单了嘛 ... 以 R 为分割, 我们的答案用若干条链覆盖了所有数. 先不论具体操作次数, 最有覆盖方案一定是一个最小链覆盖. 然后 ... 带个权, 就结束了. 复杂度 $\mathcal O(\operatorname{Dinic}(2n,n^2))$.