Solution Set -「NOIP Simu.」20221005

$\mathscr{A}\sim$「CF 1252G」Performance Review

  Link & Submission.

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  Tag:「水题无 tag」

  记 $A=a_1$, 对于任何其他的 $a$, 我们只关心它与 $A$ 的大小关系. 进一步, 任何一个时刻都可以用整数 $k$ 记录, 其描述该时刻有 $k$ 个 $a<A$. 被裁员的条件就是 $k<b_i$, 即 $k-b_i<0$. 线段树维护 $k-b_i$ 判断全局最小值是否 $<0$ 即可. 复杂度 $\mathcal O(q\log m)$.

$\mathscr{B}\sim$「CF 1515E」Phoenix and Computers

  Link & Submission. (这个题目编号念出来好可爱 w.)

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  Tag:「A.DP-计数 DP」

  先说赛上的 $\mathcal O(n^3)$ 做法. 注意到我们手动开启的电脑一定是若干段区间, 且相邻区间之间只有一个位置没被操作. 因此, 可以尝试对这些区间进行规划和计数.

  一方面, 设长度为 $\ell$ 的区间的操作方案数为 $g_\ell$, 显然我们不能跳着操作两台电脑, 否则这两台电脑中间必然有一台无法手动开启. 那么, 枚举第一次操作的位置, 可知:

$$g_\ell=\sum_{i=1}^{\ell}\binom{\ell-1}{i-1}=2^{\ell-1}.$$

  接下来, 设 $f(i,j,k)$ 表示考虑了前 $i$ 个位置, 一共操作了 $j$ 台电脑, 从 $i$ 开始前面 $k$ 台电脑是手动操作, 此时的总方案数 $/j!$ 的值. 转移分第 $i+1$ 个位置是否手动操作, 可知:

$$f(i,j,k)\cdot 2^{k-1}\overset{+}{\longrightarrow}f(i+1,j,0)~(k>0),\\ f(i,j,k)\cdot\frac{1}{k+1}\overset{+}{\longrightarrow}f(i+1,j+1,k+1).$$

最后答案就是

$$\sum_{j,k>0}2^{k-1}j!f(n,j,k).$$

可以做到 $\mathcal O(n^3)$.

 

  然后呢 ... 受这个方法启发, 很自然地引入 GF. 令 $F(x)=\sum_{i\ge1}\frac{2^{i-1}x^i}{i!}=(e^{2x}-1)/2$ 为 $g$ 的 EGF, 那么

$$\begin{aligned} \textit{ans} &= \sum_{k=0}^{(n-1)/2}\left[\frac{x^{n-k}}{(n-k)!}\right]F^{k+1}(x)\\ &= \sum_{k}2^{-k-1}\left[\frac{x^{n-k}}{(n-k)!}\right](e^{2x}-1)^{k+1}\\ &= \sum_{k}2^{n-2k-1}\sum_{i=0}^{k+1}\binom{k+1}{i}(-1)^{k+1-i}i^{n-k} \end{aligned}$$

可以随便 $\mathcal O(n^2)$ 算了. 进一步加速的话 ... 没有什么结果 qwq.

$\mathscr{C}\sim$「CF 1654F」Minimal String Xoration

  Link & Submission & Solution (6.14)

$\mathscr{D}\sim$「CF 1710D」Recover the Tree *

  Link & Submission.

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  Tags:「A.构造」「C.思维」

  赛上给了一个强提示性但因为我的错解恰好能跑对, 所以没有被我重视的 subtask ...

  考虑一个特殊情景: $[l,r]$ 连通当且仅当 $l=1,r=n$ 或者 $l=r$. 这里给出一个构造:

  接下来考虑一般情况. 注意到一个结论: 对于 $\ell_1\le \ell_2\le r_1\le r_2$, 若 $[\ell_1,r_1],[\ell_2,r_2]$ 都连通, 那么 $[\ell_2,r_1]$ 和 $[\ell_1,r_2]$ 也都连通. 因此, 原图可以被划分为若干个极大的连通区间. 对于区间内部归纳构造; 在区间之间, 我们需要将它们连通而不产生任何新的连通块, 此时直接使用特殊情景的构造方法即可. 复杂度 $\mathcal O(n^2)$.