Solution -「NOI Simu.」记忆

$\mathscr{Description}$

  长度为 $n$ 的序列 $A$ 初始全 $0$, $C=0$. 第 $i\ge0$ 个时刻对 $A$ 进行如下变换:

• $\forall i\in[1,n],~a_i\gets a_i+i$.

• $\forall i\in[1,n]\land a_i>h_{i\bmod m},~a_i\gets h_{i\bmod m},C\gets C+1$.

给出 $q$ 次询问, 每次给出 $k$, 求出 $C$ 在 $k$ 时刻后的值.

$\mathscr{Solution}$

  (嘴巴.)

  一个结论: 每次被赋值的数是 $A$ 的一个后缀.

  另一个结论: 若 $a_i$ 在 $t$ 时刻被赋值, 则一定在 $t+m$ 时刻被再次赋值.

  由结论一, 先求出 $a_1$ 第一次被赋值的位置. 设是 $h_k$ 在 $t$ 时刻将它赋值. 那么, 其他所有数都会在 $t$ 时刻被赋值. 对于 $a_i$, 设其第一次被 $h_k$ 赋值的时刻为 $t'$, 那么其第一次被赋值的时刻 $t''$ 应当有 $t''\in[t'-m,t]$. 而因为 $h_k$ 是已知的, 所以从 $t'-m$ 到 $t$, 以此检查的 $h$ 也是确定的. 而设 $a_i$ 进入循环时值为 $b$, 其被赋值需要满足 $h_x<kx+b$, 若一个区间存在使得 $h_x-kx-b<0$ 的 $x$, $a_i$ 就会被其中的数赋值. 所以对下标建立线段树, 每个区间维护斜率单调栈, 即可 $\mathcal O(n\log n)$ 线段树二分求出每个数第一次被赋值的时刻.

  对于询问, 我们需要求出若干完整周期的贡献和一段循环前缀的贡献. 前者比较好算. 对于后者, 二分得到被赋值至少一次的后缀 $[p,n]$, 将询问挂在 $p$ 处. 从后往前扫描 $a$, 每次 $a$ 会失去一些赋值时刻, 建立关于时间的线段树维护历史和即可. 复杂度 $\mathcal O(n\log n)$ ($n,q$ 同阶.)