Solution Set -「NOI Simu.」2022.07.21

$\mathscr{Summary}$

  有意思的是, 难度诈骗居然在我身上打出了暴击.

  (首先还是吐槽一下 $5\text h$ 的模拟赛因为早读和早课变成 $4\text h$ 这档事, 确实比较乱节奏.)

  A 题签得挺快. B 被论文诈骗根本没有从过题角度思考. C 确实傻了, 感觉形式很想 Boruvka 就可劲儿编做法, 发现做不来可劲儿写 LCT, 最后得到了暴力 Kruskal 的乞丐分.

  强制每到题用一个固定的时间思考满分算法或许是不错的选择. 毕竟不过几题垫底就稳了.

$\mathscr{A\sim}$ 轻松的音乐

  给定 $\{p_n\},\{a_n\}$, 对于每个 $i$, 其可以用一个区间覆盖 $[i-p_i,i)$ 或者 $(i,i+p_i]$, 求未必覆盖的 $a$ 之和的最小值.

  $n\le5\times10^4$, $m:=\max\{p_i\}\le30$.

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  考场上一眼的 $\mathcal O(nm^2)$: 令 $f(i,j,k)$ 表示考虑了 $1..i$ 的区间, 假设 $(i-j,i]$ 被后面的区间覆盖, 当前覆盖到 $[i,i+k)$ 时的最小和. 转移很简单.

  这个算法慢在完全用 DP 进行策略优化, 事实上可以加入一些底层贪心. 令 $f(i,j)$ 表示考虑了前 $i$ 个区间, 覆盖到 $j$ 的最小和. 仍然是讨论 $i$ 区间的方向, 简单处理一下转移可以做到 $\mathcal O(nm)$.

$\mathscr{B}\sim$ 论文题

  给定 $\{a_n\}$, 初始有 $a_i$ 个颜色为 $i$ 的球. 每一时刻在所有球中均匀随机两个不同且有序的球 $x,y$, 将 $x$ 的颜色变为 $y$ 的颜色. 求所有球同色时的期望时刻. 答案模 $(10^9+7)$.

  $n\le2.5\times10^3$, $m:=\max\{a_i\}\le10^5$.

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  Tags:「A.DP-概率/期望 DP」「B.Tricks」

  法一 上势能. 设 $A$ 为一个局面下颜色的出现次数集合, 定义

$$\Phi(A)=\sum_{a\in A}\varphi(a).$$

这里做出了把势能摊到每种颜色上的初步转化. 令常数 $s=\sum_{a\in A}a$, 考虑一次操作得到的 $A^*$:

$$\Phi(A^*)=\sum_{a\in A}\frac{a(a-1)+(s-a)(s-a-1)}{s(s-1)}\varphi(a)+\frac{a(s-a)}{s(s-1)}(\varphi(a-1)+\varphi(a+1)).$$

我们自然希望 $\Phi(A^*)=\Phi(A)-1$. 为了研究 $\varphi$ 而不是 $\Phi$, 可以把常数 $-1$ 正比于 $a$ 地摊到每个 $\varphi(a)$ 上, 然后令变化前后对应的 $\varphi$ 值两两相等. 化简后得到:

$$2\varphi(a)=\varphi(a-1)+\varphi(a+1)+\frac{s-1}{s-a}.$$

这个还是比较好算. 引入差分 $\delta(a)=\varphi(a)-\varphi(a-1)$, 则:

$$\delta(a+1)=\delta(a)-\frac{s-1}{s-a},\delta(0)=0.$$

我们得到了递推势能的方法. 对于终结状态 $A_t=\{s\}$,

$$\Phi(A_t)=\varphi(s)=-\sum_{i=1}^s\sum_{j<i}\frac{s-1}{s-j}=-\sum_{j=1}^ss-1=-s(s-1).$$

最终 $\Phi(A_0)-\Phi(A_t)$ 就是答案了. 线性求逆元可以做到 $\mathcal O(n+m)$.

  对于势能法奏效的数理基础, 可以参考 21 年论文《鞅与一类关于停时的概率与期望问题》.

 

  法二 更加机械化的做法. 还是设 $s=\sum a_i$, 令 $f(x)$ 表示最初有 $x$ 个球拥有被钦定的最终颜色时, 所有球都变成这一颜色的期望时刻 (钦定失败则令时刻为 $0$), 那么

$$f(x)=\begin{cases} 0 & x=0\lor x=s\\ \frac{x(x-1)+(s-x)(s-x-1)}{s(s-1)}f(x)+\frac{x(s-x)}{s(s-1)}(f(x-1)+f(x+1))+1, & \text{otherwise} \end{cases}.$$

然后和法一一样初等地算一算就行.

$\mathscr{C}\sim$ 最小生成树

  给定 $\{a_n\}$ 和边集 $E=\{(u,v,w)_m\}$, 进行 $q$ 次修改, 每次令 $a_x\gets y$, 随后求出 $G=([0..n],E\cup\{(0,i,a_i)\}_{i=1}^n)$ 的 MST 边权和.

  $n,m,q\le3\times10^5$.

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  Tags:「A.图论-生成树」「B.Tricks」

  在 $E$ 中加入足量 $+\infty$ 边使其能让 $G$ 连通. 取 $E$ 构成的 MST, 维护出 Kruskal 算法的等效链 (树转链, 两个图上 Kruskal 的表现相同).

  现在只需要对于链求答案. 线段树维护区间上一个 $f(0/1,0/1)$ 信息, 表示区间左侧连通块是否与 $0$ 连通, 右侧连通块是否与 $0$ 连通, 此时的最小代价. $\mathcal O((n+m)\log (n+m)+q\log n)$.