Diary & Note - 两个惊喜

  我们有单位根反演：

$$\sum_{k\mid n}[x^n]f(x)=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}f(\omega_k^i).$$

我们有 CRT：

$$x\equiv r_{1..n}\pmod{m_{1..n}}\\ \Leftrightarrow x\equiv \sum_{i=1}^nr_i\cdot\operatorname{inv}(M/m_i,m_i)\cdot M/m_i\pmod M.$$

我们还有 Lagrange 插值：

$$f(x)=\sum_{i=0}^{\deg f}f(x_i)\prod_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.$$

然后我宣称 CRT 才是老大！

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  从单位根反演开始，其实它指出

$$[x^0](f(x)\bmod(x^k-1))=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}f(\omega_k^i).$$

（左侧在组合意义上与原式左侧相等是显然的，就不证了。）它是如何实现这一过程的？注意到有

$$x^k-1=0\Leftrightarrow x\in\{\omega_k^i\}_{i=0}^{k-1},$$

然后浅代数基本定理一下就是

$$x^k-1=(x-\omega_k^0)(x-\omega_k^1)\cdots(x-\omega_k^{k-1}).$$

如果我们求出 $y_i=[x^0](f(x)\bmod (x-\omega_k^i))$，大概就可以 CRT 一发合并了？

  注意到 $f(x)\bmod (x-t)=f(t)$，所以 $y_i=f(\omega_k^i)$。套一套 CRT 的话……

$$f(x)\equiv y_i\pmod{x-\omega_k^i}\\ \Leftrightarrow f(x)\equiv\sum_{i=0}^{k-1}y_i\cdot\prod_{j\neq i}\frac{1}{\omega_k^i-\omega_k^j}\cdot\prod_{j\neq i}(x-\omega_k^i)\pmod{x^k-1}\\ \begin{aligned}[] \Rightarrow [x^0](f(x)\bmod (x^k-1)) &= \sum_{i=0}^{k-1}y_i\cdot \frac{\omega_k^i}{k}\cdot \omega_k^{-i}\\ &= \frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}f(\omega_k^i). \end{aligned}$$

（第二项的化简好像 3B1B 讲过形象证明，不过可以直接洛。）这 tm 不就是所谓单位根反演吗？

  但是，要说从 $f(x)\bmod (x^k-1)$ 推导单位根反演，我一开始的思路是 Lagrange 插值。但……也许不怎么科学，我们用 $f$ 的点值而非 $f(x)\bmod(x^k-1)$ 的点值。带入插值公式：

$$g(x)=\sum_{i=0}^{k-1}f(\omega_k^i)\prod_{j\neq i}\frac{x-\omega_k^i}{\omega_k^i-\omega_k^j}.$$

对比上面 CRT 的结论，发现 $g(x)=f(x)\bmod (x^k-1)$，我们也可以从 Lagrange 插值的角度，取常数项得到单位根反演。

  那么 CRT 和 Lagrange 插值又是什么关系？

  式子是一样的，也就是说……

  若 Lagrange 用 $x_{1..n}$ 去插 $f(x)$，令 $h(x)=\prod_{i=1}^n(x-x_i)$，那实际上得到的 $g(x)$ 就是

$$g(x)\equiv f(x)\pmod{h(x)}.$$

为什么插出 $n$ 次多项式至少需要 $n+1$ 个点值？因为 $\deg h>n$ 时，可以保证 $g(x)=f(x)$。而在推导单位根反演的过程中，我们不知道 $\deg f$，自然也就是引入模 $(x^k-1)$ 来表示最终结果了。

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  也许可以这么说：

• Lagrange 插值是 CRT 的特殊情况（无需取模）；
• 单位根反演是弟中弟。

  Lagrange 插值法是以法国十八世纪数学家 Joseph-Louis Lagrange 命名的一种多项式插值方法。然而在南北朝时期，《孙子算经》卷下第二十六题就已经提出了更为广义的中国剩余定理。比西方整整早了十三个世纪！(doge

  还是希望第一次学 Lagrange 插值 / CRT / 单位根反演，或者第一次学完 Lagrange 插值 & CRT & 单位根反演 的时候，就被安利这个惊喜 w。

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  前面是第一个惊喜，下面这首翻唱是第二个咯。

• 【洛天依AI】贝加尔湖畔【你清澈又神秘】_哔哩哔哩_bilibili

  真的是 IT 的时代啊，最近的 ACE 和 SynthV 引入 AI 的技术力真的比传统 V 强大了几个层次，可以让音乐圈不明真相的叔叔评价“被上帝吻过的嗓音”。主页推送几乎从【洛天依原创】全部变成【洛天依 AI】（当然，中间没空格 w）。虽然 P 主变 A 主从客观上看应该是大势所趋，但不管怎么说都算是对“情怀”的巨大冲击。而且“不难听的歌”的调试门槛降低，肯定又会有一堆小鬼来污染环境。

  没有什么成熟的见解。有意思的是，“它们”都是洛天依，这似乎契合了我所认为的“爱”虚拟歌姬的本质。

  结束语：都给我去听啊喂！