Solution Set - IQ ↓↓

• Q: 为什么说雨兔是个傻子？
• A: 因为一路上全是星号标记.

  呃, 本来的好像是 constructive || greedy, 但感觉最近整体题量不高, 就换成 2700-2900 了. 然后惊讶地发现这个区间好多 constructive, 麻了.

0. 「CF 1672H」Zigu Zagu *

  Link & Submission & Tag:「C.性质/结论」

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  一个被忽略的方法——寻找操作前后变化形式优美的特征值.

  假设对序列 $S$ 操作, 设其中 $00$ 子段的数量为 $x$, $11$ 子段的数量为 $y$, 先后注意到

• 每次被删除的序列是极长的 $01$ 序列.

• 删除偶数长度序列, $x\leftarrow x-1,y\leftarrow y-1$.

• 删除奇数长度序列, $x\leftarrow x-1$ 或者 $y\leftarrow y-1$.

• 当 $xy>0$, 存在可删除的极长偶数长度序列.

  故答案为 $\max\{x,y\}+1$. $\mathcal O(n)-\mathcal O(1)$ 即可实现算法.

1. 「CF 1672F2」Checker for Array Shuffling *

  Link & Submission & Tag:「C.性质/结论」

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  显然在所有能使 $b$ 变为 $a$ 的置换 $\sigma$ 中, 操作次数最小者为轮换数量最大者. 为了让这一次数变大, 我们就需要让 $\sigma$ 的环尽量多. 不难证明, 令每个环中恰好包含一个出现次数最多的元素, 可以取到这一最大值, 即元素的最多出现次数.

  注意到 F1 叫做 Array Shuffling, 我们已经会做了. 对于 F2, 我们只需要检查构造是否满足上述条件. 删除出现最多的元素, 拓扑检查置换是否有环即可. 复杂度 $\mathcal O(n)$.

2. 「CF 1661F」Teleporters *

  Link & Submission & Tags:「A.二分-二分答案」「B.Tricks」

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  Learn to use binary search.

  问题具有多样的单调性, 二分什么呢？注意到对于每个 gap, 代价减少量与随投入量增加而减少, 因而可以想到二分最小可接受收益 $x$, 即, 只要投入一个断点, 代价减少量不小于 $x$, 就投入. 我们能求到此时 $x$ 所对应的代价 $f(x)$, 而 $f(x)$ 是单调的, 我们能找到最大的使得 $f(x)>m$ 的 $x$. 接下来, 直到代价 $\le m$, 我们每次投入的减少量必然为 $x+1$. 简单计算即可. 复杂度 $\mathcal O(n\log^2m)$.

3. 「CF 1658F」Juju and Binary String *

  Link & Submission & Tag:「C.性质/结论」

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  可以轻松判无解或者求出答案子串中字符 $\texttt 1$ 的出现次数 $x$.

  然后获得神谕：答案不超过 $2$. 考虑将字符排列成环, 利用子串与整个串 $\texttt 1$ 的占比相同的条件, 可证环上必然存在长度为 $m$ 的区间, 其 $\texttt 1$ 的数量不多于 $x$, 亦必然存在区间, 其 $\texttt 1$ 的数量不小于 $x$, 那么一定能调整得到数量恰为 $x$ 的区间.

  利用神谕当然能做到 $\mathcal O(n)$.

4.「CF 1656F」Parametric MST

  Link & Submission & Tags:「B.贪心」「C.性质/结论」

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  由于不可抗力断断续续不知道想了多久, 不过好歹做出来了, 泪目.

  先判非法：设 $d_u$ 表示结点 $u$ 的度数, 则当 $\sum a_ud_u$ 恒小于或恒大于 $0$ 时非法, 排序之后分别以 $a_1$ 和 $a_n$ 建菊花图就能判断两种情况.

  再来看贡献计算, 先将形式单一化, $f(t)=-(n-1)t^2+\min_E\left\{\sum_{(u,v)\in E}(a_u+t)(a_v+t)\right\}$. 显然为了在 $t$ 一定时将其最小化, 一定是 $1$ 连向所有正权边, $n$ 连向所有负权边. 不难证明一定可以取某个 $t=-a_i$. 直接算就行. 复杂度 $\mathcal O(n\log n)$, 瓶颈为排序.

5. 「CF 1698G」Long Binary String

  Link & Submission & Tags: 「A.构造」「B.复杂度平衡」

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  4. 和 5. 之间间隔了不可忽视的时间. 烦请忽视.

  忽略前导零, $s$ 在 $\mathbb F_2[x]$ 上对应一个常数项为 $1$ 的多项式 $S(x)$. 我们的目标是找到任意多项式 $R(x)\in \mathbb F_2[x]$, 使得 $S(x)R(x)=x^k+1$, 并最小化这个 $k$.

  当然, $R(x)$ 是任意的, 所以更合理的写法是找到最小的 $k$, 使得

$$x^k\equiv S(x)-1\pmod{S(x)}.$$

注意 $\mathbb F_2[x]$ 下模 $S(x)$ 的剩余系大小不超过 $2^{\deg S(x)}$, 所以可以类似 BSGS 来平衡复杂度. 令 $B=\frac{\deg S(x)}{2}$, 设 $k=tB-r$, 预处理 $x^r\bmod S(x)$ 的值, 枚举 $t$ 求答案即可. 至少可以 $\mathcal O(|S|2^B)$ 叭.

6. 「CF 1698F」Equal Reversal *

  Link & Submission & Tags:「A.构造」「C.性质/结论」

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  先想想必要条件叭. 可以想到有解则需要满足:

• $a_1=b_1,a_n=b_n$.
• 可重集族 $\{\{a_i,a_{i+1}\}\}_{i=1}^{n-1}=\{\{b_i,b_{i+1}\}\}_{i=1}^{n-1}$ (你妈的, 没注意到).

  一般来说充要条件可以直接指向构造方法, 我们来试一试. 设 $a_{1..i}$ 已经匹配 $b_{1..i}$, 设 $a_i=b_i=x$, $a_{i+1}=u$, $b_{i+1}=v$, 讨论:

• $a=[\cdots,x,u,\cdots,v,x,\cdots]$, 直接 reverse $[x,u,\cdots,v,x]$ 段即可.
• $a=[\cdots,x,u,\cdots,x,v,\cdots]$, 尝试交换后面的 $x,v$ 规约到前面一种情况.
  • 如果 $[x,u,\cdots,v,x]$ 的可重集族与 $[x,u,\cdots,x,v]$ 的可重集族相同, 那 $a$ 必然形如 $[\cdots,x,u,\cdots,v,\cdots,x,v,\cdots]$, 哈, 这个简单.
  • 否则, 必然存在一对数跨过 $[x,v]$, 操作这对数.
  • (当然, 这两个讨论可以合并.)

  结束了, 暴力实现 $\mathcal O(n^3)$.

7. 「CF 1697F」Too Many Constraints *

  Link & Submission & Tag:「A.图论-2_SAT」「B.Tricks」

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  我没想到的不是 trick, 我没想到的居然是 2-SAT 😢

  令真值变量 $x_{i,j}=[a_i\le j]$, 建立 2-SAT 解出来即可, 复杂度 $\mathcal O(nk)$. 注意 $\le$ 减少了变量约束数量的规模, 应该是推广性比较强的 trick.