Solution Set -「OurOJ Contest #2587」浅写

$\mathscr A\sim$「OurOJ #47030」_

  Link & Submission & Tags:「A.DP-计数 DP」「A.数学-Stirling 数/反演」「B.Tricks」

  我们习惯于用组合数拆形如 $l^k$ 的贡献，可惜 $\mathcal O(nk^2)$ 的复杂度不被允许。我们需要找到更优秀的贡献拆分方法。

  关于幂，可以想到 Stirling 反演。考虑

$$l^k=\sum_{i=0}^k{k\brace i}l^{\underline i},$$

其中 $l^{\underline i}$ 看上去并不好维护，但是它有一个很简单的组合意义：从走过的 $l$ 条边里有序地选出 $i$ 条的方案数。除一个 $i!$，那就是 $\binom{l}{i}$，即无序地选出 $i$ 条边的方案数。我们对这个计数问题暴力 DP，令 $f(u,i)$ 表示从 $1$ 走到 $u$，已经在路径上选了 $i$ 条边的方案数。$\mathcal O(nk)$ 转移就行。

$\mathscr B\sim$「OurOJ #47031」__

  Link & Submission & Tag:「A.数据结构-树套树」

  “至少出现一次”，可以尝试直接不重不漏地进行加法贡献。那么当 $u$ 的颜色变为 $c$ 时，所有 $u$ 的祖先中，子树内以前没有 $c$ 颜色的结点都会受 $u$ 贡献；当 $u$ 的颜色从 $c$ 改变时亦有类似讨论。用 set 维护一下每种颜色出现的 DFN，可以倍增求出最高的满足要求的 $u$ 的祖先 $v$。

  然后呢？BIT 套线段树差分维护“$u$ 到 $v$ 的数量上每个点答案的 $c$ 位置 $\pm1$”，$\mathcal O((n+q)\log^2n)$，不卡常。

$\mathscr C\sim$「OurOJ #47031」___ *

  Link & Submission & Tags:「A.DP-状压/插头 DP」「C.性质/结论」

  条件的转化很关键，不要一味按照题目描述的顺序思考，例如本题，可以想想，如果先把所有权值随机出来，我们能得到多少种点分树？

  ——只有唯一一棵！每次分治区域内的最小值位置需保证唯一，这个点就是当前分治中心，依此递归构造，一种点权方案要不非法，要不只能由一种点分树生成。

  进一步，怎样才能保证最小值位置唯一？——对于任意两个权值相同的结点，它们的树上路径中必须存在权值更小的结点。可见这是合法的充要条件。

  接下来的求解就平凡了。令 $f(u,S)$ 表示 $u$ 子树内，能从对应点出发，仅经过权值不小于自己的结点，走到 $u$ 以上的权值集合为 $S$，暴力转移可做到 $\mathcal O(n3^k)$。

  然后，如你所见，极其卡常。给一些我加的优化叭。

  实现层面，不要用任何辅助数组。注意贡献形式是，当 $S\cap T=\varnothing$ 且 $S$ 的最高 bit 不在 $T$ 中时，$f(u,S)\times f(v,T)\rightarrow f(u,\{x\mid x\le \operatorname{high}(S)\land(x\in S\lor x\in T)\})$。从大到小枚举 $S$，同步在 $f(v)$ 上滚类似后缀和的东西即可。

  卡常技巧：

• 指针存一下二维状态的第一维，保证瓶颈处只有一维数组访问；

• 虽然不知道效果明不明显，也不知道科不科学：DP 的第二维不要恰好开成 $2^k$，这样很浪费 cache line；

•   #pragma GCC optimize("Ofast")
    #pragma GCC target("avx, avx2, mmx, sse, sse2, sse3, sse4, ssse3")
  

  最后，值得一提的是，$f$ 的转移可以表示为一定条件下的集合卷积，至少可以无脑优化至 $\mathcal O(nk^32^k)$，理论层面比较优秀，但是算出来巨大，标算没采用这种做法可以理解。另一方面，完整的贡献形式并不是位运算卷积，所以可能很难用类 FWT 的思路取得更好优化效果。