Solution Set -「LOCAL」冲刺省选 Round XXIX

\(\mathscr{Summary}\)

  啊……说老实话，早上昏昏欲睡的，起码浪费了一个多小时。比赛打麻了 qwq。

  A 题类似费用提前计算，回忆起这个 trick 之后就简单了。B 题又错付了，平衡树常数令人 😅，没注意到区间平移可以在数据结构之外进行。C 题打表，佛了。

\(\mathscr{Solution}\)

\(\mathscr{A}-\) RK

  有 \(n\) 盏灯排成一排，在某时刻开始时操作灯 \(i\)，会立即改变灯 \(i\) 的状态，在下一时刻末改变灯 \(i+1\) 的状态，下下一时刻末改变灯 \(i+1\) 的状态……直到改变了灯 \(n\) 的状态或者某一时刻所有灯关闭。给定初始状态，求至少需要到第几时刻，能让所有灯关闭。

  多测，\(T\le2^{16}\)，\(n\le16\)。

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  钦定时刻 \(r\) 时关完灯，\(f_r(i,S)\) 表示时刻 \(i\) 时能否达到状态 \(S\)，每次操作灯时对灯序列的最终影响是确定的，所以 \(\mathcal O(n^32^n)\) 打表就好。

\(\mathscr{B}-\) WK

  给定序列 \(\{a_n\}\)，对于每个其子段 \(\{b_m\}\)，每次操作选定 \(i\in[1,m)\)，令 \(b_i\leftarrow b_i\pm1\)，\(b_{i+1}\leftarrow b_{i+1}\mp1\)，目标是使所有 \(K\mid b_i\)。求所有子段最小操作次数（无解算作 \(-1\) 次）之和。

  \(n\le10^6\)。

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  对于 \(\{b_m\}\)，显然有解当且仅当 \(K\mid \sum b_i\)，此时最优操作次数为 \(\sum_{i=1}^{m-1}f\left(\sum_{j=1}^i b_i\bmod K\right)\)，其中 \(f(x)=\min\{x,K-x\}\)。

  计数？暴力一点，枚举右端点 \(r\)，维护每个左端点 \(l\) 的内部 \(f\) 贡献以及到这个 \(r\) 时模 \(K\) 的余数。记贡献为 \(v\)，余数为 \(r\)，那么转移涉及的修改是对 \(\begin{bmatrix}v&r&1\end{bmatrix}^T\) 的线性变换，直接平衡树维护矩阵，复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\) 理论正确。可以用线段树，也可以压缩矩阵数据量，总之我懒得写啦。

\(\mathscr{C}-\) SK

  一个 boss，\(n\) 滴血，每回合你随机获得以下三种手牌：

之一，求期望需要多少回合消灭 boss。答案模 \(998244353\)。

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  显然是屯牌到最后一回合直接秒 boss，那么期望步数 = 期望恰好秒不掉 boss 的步数 +1 = 所有秒不掉 boss 的手牌被抽出来的概率和 +1。讨论牌型：

\[1:\sum_{i=1}^n3^{-i}=\frac{1-3^{-n}}{2}. \]

\[2:\sum_{i=1}^{(n-1)/2}3^{-i}=\frac{1-3^{-(n-1)/2}}{2}. \]

\[3:\sum_{i\ge 1}3^{-i}=\frac{1}{2}. \]

\[2+3:\sum_{i=1}^{n/2}\frac{2^i-2}{3^i}=2-2(2/3)^{n/2}-1+3^{-n/2}. \]

这几种比较好算，剩下的容斥，即“假设这些类型都出现过”，再继续打，依此计算手牌伤害，那么

\[1+2:A(x)=\frac{1}{3}(x+x^3)A(x)\\ \Rightarrow (1-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}x^3)A(x)=0. \]

\[1+3:B(x)=\frac{1}{3}(x+x^2)B(x)\\ \Rightarrow(1-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}x^2)B(x)=0. \]

\[1+2+3:C(x)=\frac{1}{3}(x+x^3+x^4)C(x)\\ \Rightarrow(1-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}x^4)C(x)=0. \]

都能矩阵加速求点值，注意容斥的时候还是要把伤害算成假设条件下的伤害。例如 \(1+2+3\) 下对 \(2+3\) 的容斥应为 \(D(x)=\frac{1}{3}(x^3+x^4)D(x)\)。合并同类项之后只需要四次矩阵快速幂。

  复杂度 \(\mathcal O(T\log n)\)，常数为矩阵乘法的 \(5^3\)。