Solution Set -「LOCAL」冲刺省选 Round XXVII

$\mathscr{Summary}$

  还行，B 题挺不错，C 题就省选来说有点水（？

$\mathscr{Solution}$

$\mathscr{A-}$ 分裂

  初始时，你有一个 $1$ 级球，每次可以把一个 $k$ 级球变成 $k+1$ 个 $k+1$ 级球，请构造恰好得到 $n$ 个球的方案，仅需输出最终球的等级和对应数量。

  多测，$T\le10^4$，$n\le10^{18}$，你需要保证所有方案中球的等级种类之和不超过 $10^7$。

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  一开始去优化“球的数量之和”，大大地伪了一发。

  注意部分分有个 $n$ 是阶乘，而阶乘的时候等级种类自然是最少的，所以我们先找到最大的 $x!\le n$，先把 $1$ 级球不停操作得到 $x!$ 个 $x$ 级球，此时再取一定数量的 $x$ 级球操作到 $x+1$ 级球，设 $n'$ 为还需要的球的数量，那么 $n'\le x$。通过升级一个 $k$ 级球，还原 $k$ 个 $k$ 级球，可以使 $n'$ 减少 $1$，模拟几次就行。

  阶乘的是指数级，那么复杂度为 $\mathcal O(T\log n)$，每次使用不超过 $4$ 种等级。

$\mathscr{B}-$ 未来

  给定长度为 $n$，字符集为 $\{\text r,\text g,\text b\}$ 的字符串 $S$，对其进行 $m$ 次变换，每次变换使 $S$ 变为 $S'$，若 $S_i=S_{(i+1)\bmod n}$，$S'_i=S_i$，否则 $S'_i=\{\text r,\text g,\text b\}\setminus\{S_i,S_{(i+1)\bmod n}\}$。求变换后的最终序列。

  $n\le5\times10^5$。

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  套路性地去想一个具有交换律、结合律的整数运算来等价表示两个字符的运算结果。进而，令三种字符为 $0,1,2$，可以构造出这样的运算：$a\oplus b=(-(a+b))\bmod 3$，并且这个负号仅由 $m$ 决定，问题被转化成：给定序列 $\{a_n\}$，每次操作令 $a'_i=a_i+a_{(i+1)\bmod n}$，求 $m$ 次操作后每个 $a_i\bmod 3$。

  若 $a_i$ 的值在下标移动 $d$ 次后更新到了 $a_j$，那么贡献系数显然是 $\binom{m}d$，注意仅对 $3$ 取模，所以对它 Lucas 一发，设 $m=\sum 3^{m_k}$ 为 $m$ 的三进制分解（如果某个幂次数是 $2$，加两次），就组合意义上，我们可以依次对 $\{a_n\}$ 施加 $3^{m_1}$ 次操作，再施加 $3^{m_2}$ 次操作，……最后总共施加 $m$ 次操作。每次操作中，贡献系数都是 $\binom{3^{m_i}}{d}$，因而 $d=0$ 或 $d=3^{m_i}$ 时，才能使系数非 $0$，这个可以 $\mathcal O(n)$ 模拟一遍算出来，所以总复杂度 $\mathcal O(n\log m)$。

$\mathscr{C}-$ 回忆

  给定一个 $n\times m$ 的网格，$(i,j)$ 以 $a_{i,j}$ 的概率可用，求可用单元格构成的四联通块中，最大块大小的期望。

  $nm\le40$。

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  你能想到最暴力的插头 DP：按列转移，状态数组直接 map<pair<vector<int>, vector<int> >, int>，过了。打了下表，有效状态数不超过 $10^5$。