Solution Set -「LOCAL」冲刺省选 Round I

$\mathscr{Summary}$

  状态还行叭。

  A 题又犯坏习惯，走起来就大力分讨，上了个厕所之后冷静一下开始寻找比较普适性的 DP 状态，然后几乎就切掉了，可惜复杂度写假了没发现（已经预处理过的前缀和一个一个加，笑死）。

  B 题的解法暗示性很强，随便猜一个结点出来套路性 DFS 树就好，比较迅速。

  C 题骗的时候就走得有点偏，问题没有抽象清楚，虽然有暴力分，但和正解毫不相关。这个正解确实太神奇了。

$\mathscr{Solution}$

$\mathscr{A}-$ Sequence

  给定 $n,k,m,\{a_m\}$，$\{a_m\}$ 的值域是 $U=[1,k]\cap\mathbb N$。定义值域也是 $U$ 的序列 $\{b_n\}$ 是好的，当且仅当它存在一个长度为 $k$ 的子序列不含重复元素。求在所有的 $\{b_n\}$ 中，$\{a_m\}$ 作为连续子序列的出现次数。

  $m\le n\le2.5\times10^4$，$k\le400$。

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  首先，光是 $\{a_m\}$ 就能让 $\{b_n\}$ 合法的情况直接判了。

  出现次数，还允许重复，$n$ 也不大，所以先直接枚举出现位置。设现在 $\{a_m\}$ 左边还能加 $l$ 个元素，右边还能加 $r$ 个元素。注意到若 $\{a_m\}$ 包含重复元素，左边和右边出现合法段（使 $\{b_n\}$ 合法的段）的情况是互不影响的，不可能存在跨过 $\{a_m\}$ 的合法段。稍微抽象一下可以得到这样一个 DP 问题：

  给定一个确定的，长度为 $j$ 的子序列 $\{c_j\}$，在其后面添加 $i$ 个元素，使得 $\{c'_{i+j}\}$ 合法，我们记这样的添加方案数为 $f(i,j)$，特别地，$f(i,k)=k^i$。转移显然有

$$f(i,j)=(k-j)f(i-1,j+1)+\sum_{t=1}^jf(i-1,t).$$

可以 $\mathcal O(nk)$ 得到。两边方案数小小容斥一发就能求到 $\{a_m\}$ 包含重复元素时的方案。

  不包含重复元素，注意到此时 $m<k\le400$，所以可以大力钦定几个位置让它出现重复，规约到前一种情况。具体地，设在 $\{a_m\}$ 前面添加了第 $i~(i+m\le k)$ 个元素时，这个元素与它后面的第 $j$ 个重复，且前 $i-1$ 个元素都没有产生重复。枚举此处的 $i,j$，在这种情况下，令 $\{t_{i+m}\}$ 表示添加得到的序列，那么其最长不重复前缀长度为 $p=j$，最长不重复后缀长度为 $q=i+m-1$，结合已经枚举的 $l,r$，此处方案数为

$$+f(l-i,p)k^r+f(r,q)k^{l-i}-f(l-i,p)f(r,q),$$

注意 $i-1$ 个不产生重复的元素还会产生 $(k-m)!/(k-m-i+1)!$ 的系数，记得乘上。

  现在算法复杂度是 $\mathcal O(nk^2)$，优化很显然：上式对 $j$ 求和的部分可以滚前缀和。因此最终复杂度为 $\mathcal O(nk)$。

$\mathscr{B}-$ Graph

  给定含有 $n$ 个结点 $m$ 条边的强连通有向图，若 $u$ 到任意结点 $v$ 都有且仅有一条简单路径，则称 $u$ 是好的。求出所有好的结点 $u$。

  多测，$\sum n\le10^5$，$\sum m\le2\times10^5$，保证每个图中至少有 $20\%$ 的好点。

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  判 $u$ 好不好：DFS 一遍，每个访问到的已被遍历过的结点都必须在当前的递归栈内。

  从 $20\%$ 的条件入手，不要白不要嘛，随便猜几次得到一个好点 $r$。这个“好”字对 $r$ 的限制非常强，分析一下可知：$r$ 为根的 DFS 树唯一，且仅存在外向树边和返祖边。

  以此为基础，判断其他结点的好不好。对于 $u\neq r$，如果 $u$ 子树内包括两条及以上到 $u$ 严格祖先的返祖边，显然 $u$ 不好；否则 $u$ 子树内必然存在恰好一条到 $u$ 严格祖先的返祖边（图强连通），如果这个祖先好，$u$ 就好，否则 $u$ 就不好。画画图比较明显。

  DFS 一遍求出最浅返祖边和次浅返祖边，再 DFS 一遍判断即可。复杂度 $\mathcal O(\sum m)$。

$\mathscr{C}-$ Shape

  Cov. 「CF 1290F」Making Shapes; my solution.