Solution Set -「LOCAL」冲刺省选 Round I
\(\mathscr{Summary}\)
状态还行叭。
A 题又犯坏习惯，走起来就大力分讨，上了个厕所之后冷静一下开始寻找比较普适性的 DP 状态，然后几乎就切掉了，可惜复杂度写假了没发现（已经预处理过的前缀和一个一个加，笑死）。
B 题的解法暗示性很强，随便猜一个结点出来套路性 DFS 树就好，比较迅速。
C 题骗的时候就走得有点偏，问题没有抽象清楚，虽然有暴力分，但和正解毫不相关。这个正解确实太神奇了。
\(\mathscr{Solution}\)
\(\mathscr{A}-\) Sequence
给定 \(n,k,m,\{a_m\}\)，\(\{a_m\}\) 的值域是 \(U=[1,k]\cap\mathbb N\)。定义值域也是 \(U\) 的序列 \(\{b_n\}\) 是好的，当且仅当它存在一个长度为 \(k\) 的子序列不含重复元素。求在所有的 \(\{b_n\}\) 中，\(\{a_m\}\) 作为连续子序列的出现次数。
\(m\le n\le2.5\times10^4\)，\(k\le400\)。
首先，光是 \(\{a_m\}\) 就能让 \(\{b_n\}\) 合法的情况直接判了。
出现次数，还允许重复，\(n\) 也不大，所以先直接枚举出现位置。设现在 \(\{a_m\}\) 左边还能加 \(l\) 个元素，右边还能加 \(r\) 个元素。注意到若 \(\{a_m\}\) 包含重复元素，左边和右边出现合法段（使 \(\{b_n\}\) 合法的段）的情况是互不影响的，不可能存在跨过 \(\{a_m\}\) 的合法段。稍微抽象一下可以得到这样一个 DP 问题：
给定一个确定的，长度为 \(j\) 的子序列 \(\{c_j\}\)，在其后面添加 \(i\) 个元素，使得 \(\{c'_{i+j}\}\) 合法，我们记这样的添加方案数为 \(f(i,j)\)，特别地，\(f(i,k)=k^i\)。转移显然有
可以 \(\mathcal O(nk)\) 得到。两边方案数小小容斥一发就能求到 \(\{a_m\}\) 包含重复元素时的方案。
不包含重复元素，注意到此时 \(m<k\le400\)，所以可以大力钦定几个位置让它出现重复，规约到前一种情况。具体地，设在 \(\{a_m\}\) 前面添加了第 \(i~(i+m\le k)\) 个元素时，这个元素与它后面的第 \(j\) 个重复，且前 \(i-1\) 个元素都没有产生重复。枚举此处的 \(i,j\)，在这种情况下，令 \(\{t_{i+m}\}\) 表示添加得到的序列，那么其最长不重复前缀长度为 \(p=j\)，最长不重复后缀长度为 \(q=i+m-1\)，结合已经枚举的 \(l,r\)，此处方案数为
注意 \(i-1\) 个不产生重复的元素还会产生 \((k-m)!/(k-m-i+1)!\) 的系数，记得乘上。
现在算法复杂度是 \(\mathcal O(nk^2)\)，优化很显然：上式对 \(j\) 求和的部分可以滚前缀和。因此最终复杂度为 \(\mathcal O(nk)\)。
\(\mathscr{B}-\) Graph
给定含有 \(n\) 个结点 \(m\) 条边的强连通有向图，若 \(u\) 到任意结点 \(v\) 都有且仅有一条简单路径，则称 \(u\) 是好的。求出所有好的结点 \(u\)。
多测，\(\sum n\le10^5\)，\(\sum m\le2\times10^5\)，保证每个图中至少有 \(20\%\) 的好点。
判 \(u\) 好不好：DFS 一遍，每个访问到的已被遍历过的结点都必须在当前的递归栈内。
从 \(20\%\) 的条件入手，不要白不要嘛，随便猜几次得到一个好点 \(r\)。这个“好”字对 \(r\) 的限制非常强，分析一下可知：\(r\) 为根的 DFS 树唯一，且仅存在外向树边和返祖边。
以此为基础，判断其他结点的好不好。对于 \(u\neq r\)，如果 \(u\) 子树内包括两条及以上到 \(u\) 严格祖先的返祖边，显然 \(u\) 不好；否则 \(u\) 子树内必然存在恰好一条到 \(u\) 严格祖先的返祖边（图强连通），如果这个祖先好，\(u\) 就好，否则 \(u\) 就不好。画画图比较明显。
DFS 一遍求出最浅返祖边和次浅返祖边，再 DFS 一遍判断即可。复杂度 \(\mathcal O(\sum m)\)。
