Solution Set -「LOCAL」冲刺省选 Round XXII

  欸欸欸？以前的 round 编号是不是都多写了一个 X 啊，怎么没人告诉我 qwq。

$\mathscr{Solution}$

$\mathscr{A-}$ 排队

  给定 $n,m,\{a_m\}$，求前缀为 $\{a_m\}$ 的所有 $n$ 阶排列 $p$ 中，满足 $\sum_{[i>p_i]}(i-p_i)=\pi(p)$ 的数量。答案模 $(10^9+7)$。

  $m\le n\le10^5$。

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  起码，在开始找规律之前，得动脑子思考一下吧。😅

  显然 $\sum_{[i>a_i]}(i-a_i)=\sum_{[i<a_i]}(a_i-i)$，考虑后面这个式子的具象意义比较方便：$a_i$ 放在 $i$，后面的逆序对数至少是 $a_i-i$。我们的目标即是同时让每个下界都被取到，才能获得正确的逆序对数。

  升序考虑值，把值插入到排列的对应位置，可以简单发现：

• 下界都取到，前缀 $\max$ 单增；
• 没有其他逆序对，除前缀 $\max$ 序列后，排列单增。

  所以，前缀 $\max$ 序列（位置和值）确定后，排列确定。直接观察前缀 $\max$，是一段阶梯状的函数，类 Catalan 算一算方案数就行。复杂度 $\mathcal O(n)$。

$\mathscr{B}-$ 论文查重

  给定字符串集合 $\{S_n\}$，序列 $\{a_m\}$ 以及字符串 $T$，求 $T$ 与 $S=S_{a_1}S_{a_2}\cdots S_{a_m}$ 的 LCS。

  $n,m,|T|\le2\times10^3$，$\sum_i|S_i|\le10^6$。

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  LCS 的长度不超过 $|T|$，这个范围显然小于 $|S|$，所以应该把它记到状态里。令 $f(i,l)=(x,y)$ 表示 $T[1:i]$ 在 $S$ 中取到 $l$ 长的 LCS 时，至少需要用到 $S_x$ 的第 $y$ 个字符。对每个 $S_i$ 预处理一个序列自动机就能转移了。如果当前 $S_x$ 转移不了就在 $\{a_m\}$ 上二分下一个有这一字符的串。复杂度 $\mathcal O(|T|^2|\Sigma|\log m+|\Sigma|\sum_i|S_i|)$，实现得好 $\log$ 应该可以丢掉。

$\mathscr{C}-$ 烽火戏诸侯

  给定 $\{a_n\}$，每次选一对 $a_i+1<a_j$，令 $a_i\leftarrow a_i+1$，$a_j\leftarrow a_j-1$。求最多能操作多少次。

  $n\le10^5$。

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  结论：保持 $\{a_n\}$ 有序，若能操作某个 $a_i+1<a_{i+1}$，操作它；否则若能操作某个 $a_i+1<a_{i+2}$，操作它。欸不是，我代码删个判句就对了，你起码告诉我为什么呀。

  证明留作悬念，我们看看怎么维护。尝试增量法：先通过操作使 $a_{1..k}$ 变成值连续段，加入 $a_{k+1}$ 时，形如下图：

现加入 $H$ 点，操作 $(F,H)$，为了保持值连续，连锁操作 $(E,F),(D,E)$，最后 $H$ 下降 $1$ 单位的效果是 $D$（升序段末尾）上升 $1$ 单位，贡献是升序段的长度，并且合并了两个升序段（$C$ 本来自己是独立的升序段）。所以，这里直接用栈维护升序段起点，BIT 维护序列，均摊只有 $\mathcal O(n)$ 次点-升序段的整体修改。当 $H$ 高度不够时，计算得到能够抬升的升序段前缀，修改一下，增加一个升序段，不影响复杂度。

  维护出值连续段后，丢在桶里模拟一下两边往中间操作的过程即可。复杂度 $\mathcal O(n\log n)$，其实我觉得实现得好 $\log$ 还是能丢掉。（