Solution Set -「LOCAL」冲刺省选 Round XV

$\mathscr{Summary}$

  读错题了读错题了 B 题差点没做出来真的太吓人了。

  逆序开题，C 题直接冲一发暴力最大权闭合子图居然过了。A 题确实一下子没想到用“可能的函数集合”描述状态，所以直接摆烂。B 题感觉是个没见过的 trick 啊，但现推还是比较容易，本来把“跳到一个后代”理解成“跳到一个儿子”，冲出树剖调半天发现读错题，我直接 😅。还好树剖那一大坨都是对的，只是初始的 SG 得重算（怎么还变简单了啊喂）。总之就是这里浪费了很多时间。

  想出正解的题一定缩减代码和调试时间，不要太悠闲 qwq。

$\mathscr{Solution}$

$\mathscr{A}-$ 开心消消乐

  给定任意 $\varphi:\{0,1\}^3\rightarrow\{0,1\}$ 以及一个字符集为 01? 的串 $S$。每次操作为：取出一个 $S[:2k+1]$，将 $S$ 的这个前缀替换为字符 $\varphi(\dots,\varphi(S_{2k-1},S_{2k},S_{2k+1}))$。求有多少个将 ? 替换为 0 或 1 的方案，使得存在一种操作方案能将得到的 $S$ 变为单个字符 1。

  $n\le10^5$，多测组数 $T\le10$。

---

  你先想想怎么判合法。 ——邓老师

  考虑检查一个字符集为 01 的 $S$ 是否合法。DP 的基本想法必然是以前缀为子问题，而当一个前缀处理完成后，我们只需要关心它留下的东西对后方操作的影响。形式地，令 $g(i,\phi)$ 表示考虑了前 $i~(2\mid i)$ 个字符，剩下的前缀对下一个字符的影响是映射 $\phi$ 的情况是否存在。转移不难。

  会判合法，直接 DP of DP 解决问题：令 $f(i,\Phi)$ 表示考虑了前 $i~(2\mid i)$ 个字符，剩下的前缀对下一个字符的影响是映射集合 $\Phi$ 内任意一种的方案数。在求 $f$ 之前预处理关于 $\Phi$ 的转移，可以做到 $\mathcal O(n)$（状态数有常数 $2^{2^2}$，转移常数最坏是 $2\times2$）。

$\mathscr{B}-$ 树上的棋局

  给定一棵含有 $n$ 个结点的树，初始时根有 $r=1$，每个结点上有一枚棋子。Alice 和 Bob 在玩一个博弈，双方轮流取一个棋子，将其跳到它所在结点的子树内任意一点，不能不动。现进行 $q$ 次操作：

1. 给定 $u,v,x$，在路径 $(u,v)$ 上的每个结点加一枚棋子，然后令 $r\leftarrow x$，最后回答当前树下博弈游戏的 SG 值；
2. 给定 $u,x$，在 $u$（以 $r$ 为根的）子树内的每个结点加一枚棋子，然后令 $r\leftarrow x$，最后回答当前树下博弈游戏的 SG 值。

  $n,q\le2\times10^5$。

---

  只要你不读错题…… 就算你读错了题……

  首先观察一下修改的形式，发现根的位置几乎不影响修改的进行。例如钦定 $r=1$，操作 $1$ 不受影响；操作 $2$ 可以由若干个对子树的覆盖异或而成。因此可以把为题描述为：在 $r=1$ 的背景下做修改，询问 $r=x$ 时的 SG 值，这样“换根”操作就几乎没有了。

  再考虑如何回答询问。令 $g(u)$ 表示 $r=1$，$u$ 的 SG；$f(u)$ 表示 $r=u$，$u$ 的 SG，这俩都能预处理出来。令 $c_u$ 表示 $u$ 结点棋子数量奇偶性，可见 $\bigoplus c_ug(u)$ 就是 $r=1$ 的答案。对于 $r=x$，SG 值有变动的仅有路径 $x\rightarrow 1$ 上的结点：

• 对于 $x$，它的 SG 由 $g(x)$ 变为 $f(x)$；
• 对于其余 $u$，它有在路径上的孩子 $v$，它的 SG 变为 $f(u)$ 的 $\operatorname{mex}$ 集合里剔除 $g(v)$（把 $v$ 子树砍掉）。

  树剖？类似于树上 DDP，我们令 $h(u)$ 表示砍掉 $u$ 的重儿子之后，以 $u$ 为根，$u$ 的 SG。树剖维护 $c_u(h(u)\oplus g(u))$ 的值，在 $\bigoplus c_ug(u)$ 的基础上修正 $x\rightarrow 1$ 这条链上的答案即可。$\mathcal O(n\log^2 n)$，常数踩标 😃

$\mathscr{C}-$ 社会黄油飞

  （作亿点简化，但应该对于高水平的你来说问题不大。）给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的图，求非空最大权闭合子图（是否大于给定常数）。

  $n\le2\times10^3$，$m\le6\times10^3$。

---

  暴力：钦定选一个点，跑 $n$ 次最大权闭合子图，$\mathcal O(n\operatorname{Dinic}(n+2,n+m))$，过了。

  正解：钦定选一个点，然后退流撤销用于钦定的 $+\infty$ 边，$\mathcal O(¿)$，T 了。

  反 了 它 ¿