Solution Set -「LOCAL」冲刺省选 Round XI

$\mathscr{Summary}$

  省选几个小时啊，怎么模拟赛只打三个小时啊。/kk

  时间安排较为合理，没有出现严重的因思考时间过少引起的丢分。

  A 题比较可惜，二分 + 点分治大概想了一下就叉掉了，再后来就没再想起二分。骗分的时候 Manacher 又写假了，笑死，字符一定要调整成 ^|a|a|a|a| 的形式，前后的 | 都不能少。

  B 题要是出在所谓“Burnside 算法练习题”里，估计还有挣扎的余地，Burnside 相关的东西确实不熟悉，依靠并不扎实的线代推了一会儿果断暴力 $16\text{pts}$，问题不大。

  C 题比较舒服，从比题解不知道简单多少的角度猜想并证明了关键结论，由于 Min_25 筛忘得很彻底，而且暴力 $80\text{pts}$ 非常舒适，所以线性筛写了就走，问题不大。

  表现中规中矩叭。

$\mathscr{Solutions}$

  Contest link. (private)

$\mathscr{A}-$ 我醉

  给定一棵含 $n$ 个结点的边带权的树，求树上最长回文路径长度。 $n\le10^5$。

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  分奇数偶数情况分别二分，现考虑检验是否存在长度为 $L$ 的回文路径。点分治，从分治中心扩展，用长度 $\ge\lceil\frac{L}2\rceil$ 的一侧路径更新答案。现在问题形如判断 AxBC 是否是回文（其中 $x$ 指分治中心结点，不是字符；$|A|=|C|$），对 $A$ 维护 hash 桶，对 $BC$ 动态更新前缀的正向 hash 和反向 hash 即可 $\mathcal O(1)$ 判断（假定桶为 $\mathcal O(1)$）。最终复杂度为 $\mathcal O(n\log^2 n)$，巨大卡常。

  值得一提的乱搞：拆边使得回文中心在点上，从每个点 BFS，保证每个队列里的点都有与之构成回文的点。虽然在所有字符一样等平凡的情况就会 $\mathcal O(n^2)$，但这种不难写、迎合某竞赛组织数据水、不绑点的尿性的暴力还是有意义的。

$\mathscr{B}-$ 梧桐依旧

  给定 $n$ 和素数 $p$，求在模 $p$ 意义下，有多少 $n\times n$ 的矩阵对 $(A,B)$ 满足 $\det B\not=0,A=BA$。答案模 $998244353$。 $n\le3\times10^7$。

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  第一步转化不太显然：$A$ 可以视作变换 $B$ 下的不动点，继而引入 Burnside 引理：

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|.$$

可以验证所有可能的 $B$ 构成群。套用公式，我们只需要求出

$$|G||X/G|.$$

  对于 $|G|$，即 $n$ 维满秩矩阵的数量。依次枚举列向量，当前列向量的限制有且仅有：不落在已有列向量张成的空间内。而 $k$ 个线性无关向量张成的空间大小显然是 $p^k$，因此

$$|G|=\prod_{i=0}^{n-1}(p^n-p^i).$$

  对于 $|X/G|$，即所有 $A$ 在行变换意义下的等价类数量。分 $\operatorname{rank} A$ 讨论，设 $\operatorname{rank} A=k$，可以钦定 $A$ 的前 $k$ 个行向量构成 $A$ 的行空间的基，取它们构成 $k\times n$ 的矩阵 $A'$。枚举 $k\times k$ 的行变换 $B'$，那么可重集 $\{B'A'\}$ 中，每个 $A'$ 恰出现 $|\{B'\}|$ 次，继而可知每个等价类的大小都是 $|\{B'\}|$，所以

$$|\{A\mid \operatorname{rank}A=k\}/G|=\frac{|\{A'\}|}{|\{B'\}|}=\prod_{i=0}^{k-1}\frac{p^n-p^i}{p^k-p^i}.$$

  最终有

$$|G||X/G|=\prod_{i=0}^{n-1}(p^n-p^i)\sum_{k=0}^{n}\prod_{i=0}^{k-1}\frac{p^n-p^i}{p^k-p^i}.$$

$\mathcal O(n)$ 求所有分母的逆元，最终复杂度 $\mathcal O(n)$。

$\mathscr{C}-$卿且去

  给定 $n$。令 $f(S)$ 表示在集合 $S$ 中最多能选出多少个不存在整倍数关系的数。求

$$\sum_{S\subseteq[1,n]\cap\mathbb P}f(\{x\in[1,n]\mid\exist p\in S,p\mid x\}).$$

答案对 $998244353$ 取模。 $n\le10^{10}$。

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  注意和式中的 $f$ 的参数集合 $T$ 满足：若 $x\in T,2x\le n$，则 $2x\in T$。因此可以猜测，$f(T)$ 的值为 $|\{x\in T\mid x>\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\}|$。通过说明对于任意选取的集合 $X$，若有 $x\in X,x\le\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$，那么取出最大的满足条件的 $x$，都有 $(X\setminus\{x\})\cup\{2x\}$ 成立，即可证明。

  因此，我们只关心 $(n/2,n]$ 内的数在多少个 $S$ 中出现。记 $\omega(n)$ 表示 $n$ 的素因子数量，$\pi(n)$ 表示不超过 $n$ 的素数数量，那么答案为

$$\begin{aligned} \mathcal R &= \sum_{i=n/2+1}^n2^{\pi(n)}-2^{\pi(n)-\omega(i)}\\ &= 2^{\pi(n)}\left[(n-n/2)-\sum_{i=n/2+1}^n2^{-\omega(i)}\right]. \end{aligned}$$

$f(n)=2^{-\omega(n)}$ 显然积性，所以其前缀和可以与 $\pi(n)$ 一并由 Min_25 筛求出来。复杂度 $\mathcal O\left(\frac{n^{3/4}}{\log n}\right)$。

  你（我）Min_25 忘干净啦？怪不得只有 $80\text{pts}$。你应当赎罪。