Solution Set - 神奇 NOIP 模拟赛

$$\mathfrak{\text{Defining }\LaTeX\text{ macros...}}\newcommand{\vct}[1]{\boldsymbol{#1}}\newcommand{\stir}[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}}\newcommand{\opn}[1]{\operatorname{#1}}\newcommand{\lcm}[0]{\opn{lcm}}\newcommand{\sg}[0]{\opn{sg}}\newcommand{\dist}[0]{\opn{dist}}\newcommand{\lca}[0]{\opn{lca}}\newcommand{\floor}[2]{\left\lfloor\frac{#1}{#2}\right\rfloor}\newcommand{\ceil}[2]{\left\lceil\frac{#1}{#2}\right\rceil}$$

  2021.10.29.

  「A. 莓良心」 给定 $\{w_n\}$，对于所有将其划分为 $k$ 个非空集合的方式，求 $w_i\times (w_i\text{ 所在集合大小})$ 之和的总和模 $998244353$ 的值。$n\le10^6$。

  考虑算每个 $w_i$ 的贡献次数，首先 $w_i$ 自己算一次，$\stir{n}{k}$；任意 $j\not=i$ 的 $w_j$ 和 $w_i$ 放一次时贡献一次，$(n-1)\stir{n}{k-1}$，$\mathcal O(n)$ 算第二类斯特林数单点值即可。

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  「B. 尽梨了」 给定 $\{(a,b)_n\}$，初始时 $t=0$，每次选一个未选过的 $i$，令 $t\leftarrow(a_i+1)(t+1)+b_i$，需要保证此时 $t\le m$。求最多能选择的次数。$n\le2\times10^5$，$m\le10^9$。

  交换贪心可知确定要选的集合时最优的选取顺序，依此排序后，问题变为从其中依次取子序列。注意到 $a=0$ 的必然最后选，且按 $b$ 从小到大选；$a\not=0$ 每次选择至少有 $t\leftarrow 2(t+1)$，对于这种情况直接 DP，最后考虑 $a=0$ 即可。复杂度 $\mathcal O(n\log m)$。

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  「C. 团不过」 有求 $n$ 堆有标号石子堆，每堆石子数量在 $[1,2^n)$ 且不存在两堆相同数量石子堆时，Nim 先手必胜的方案数。$n\le10^7$。

  令 $f_i$ 为仅考虑 $i$ 堆石子的方案数，显然可以通过下降幂、$f_{i-1}$ 和 $f_{i-2}$ 进行转移。复杂度 $\mathcal O(n)$。

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  「D. 七负我」 给定无向图 $G$，给每个结点赋非负实数权值 $a_i$，使得 $\sum a_i=x$，最大化 $\sum_{(u,v)\in E}a_ua_v$。$n\le40$。

  调整法证必然有一种方案，$a_i>0$ 的结点的导出子图是团，团内部的最优决策显然是平均分点权（可以不等式或者口算一下拉格朗日乘子法），继而发现取最大团最优。这里直接 Meet in Middle 求最大团即可。复杂度 $\mathcal O(2^{\frac{n}{2}}n)$。

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  2021.10.30.

  「A. 特殊字符串」 水。

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  「B. 宝可梦」 给定一个 $n\times m$，有墙或空地的迷宫，保证空地在四联通意义下构成树。接下来 $q$ 组询问，每次给定起点，第一步方向（保证不撞墙）和终点，求从起点摸着右手的墙走，需要走多少步到终点。$nm\le5\times10^5$，$q\le10^5$。

  分析清楚题意后，直接拆四个点建图。注意到可能作为起点，或者可能是中间过程的点必然是两两可达的，所以图是一整个环，在环上随便写写就行。

  Attention. 图在具体题目的具体性质分析清楚再动手，直接搓一个基环树森林的做法太浪费时间了。

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  「C. 矩阵」 给定 $n\times m$ 的矩阵 $A$，找一条四联通意义下的路径，使得依次经过的元素构成等比序列，或声明存在长度无穷大的路径。$nm,a_{i,j}\le4\times10^4$。

  先判掉无穷大，之后枚举第一步然后记忆化搜索可以做到 $\mathcal O(nm\log^2 a)$，或者 DP 一下可以做到 $\mathcal O(nm)$。

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  「D. 乘法」 求十六进制下 $n!$ 除去末尾 $0$ 后的最后 $16$ 位。$n<2^{64}$，多测 $T\le10$。

  先求出 $n!$ 含因子 $2$ 的个数，接下来要求出

$$\sum_{i}f\left(\floor{n}{2^i}\right),$$

其中 $f(n)=(n-[2\mid n])!!$，问题转化为求双阶乘。令 $F_n(x)=\prod_{i<2n,2\nmid i}(2x+i)$，那么 $F_n(0)=(2n-1)!!$，且 $F_{2n}(x)=F_n(x)F_n(x+n)$，注意到当次数 $k>63$，$[x^k]F_n(x)=0$，所以可以暴力卷积。在二进制扫描 $n$ 的同时倍增，可以做到 $\mathcal O(T\log^3n)$。

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  2021.11.01. 总之就是四道傻瓜题。

  「A. 集合均值」 水。

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  「B. 聚烷撑乙二醇」 水。但出题人不写浮点比较 SPJ 还卡精度。

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  「C. 技术情报局」 给定 $\{a_n\}$，求 $\sum_{[l,r]}\left(\max_{i=l}^r\{a_i\}\right)\left(\prod_{i=l}^ra_i\right)$，序列随机，模给定数 $M$。$n\le10^7$。

  单调栈 $\mathcal O(n)$ 嘛，我告诉你能做就肯定能做的啦~

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  「D. 肯德基」 求 $\sum_{i=1}^n\mu^2(i)i$。$n\le10^{14}$，数据组数 $T\le100$。

  容斥，答案显然是

$$\sum_{i=1}^{{\sqrt{n}}}\mu(i)S(n/i^2)i^2,$$

其中 $S(n)=\frac{n(n+1)}{2}$。发现可以用 $i^2$ 对 $n$ 进行整除分块。复杂度方面，当 $i\le n^{\frac{1}{3}}$，仅有 $\mathcal O(n^{\frac{1}{3}})$ 个取值；当 $i>n^{\frac{1}{3}}$，有 $\frac{n}{i^2}\le n^{\frac{1}{3}}$，也仅有 $\mathcal O(n^{\frac{1}{3}})$ 个取值，所以分块复杂度为 $\mathcal O(n^{\frac{1}{3}})$。总复杂度即 $\mathcal O(\sqrt n+Tn^{\frac{1}{3}})$。

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  2021.11.02.

  「A. 按位或」 求序列 $\{x_n\}$ 的个数，满足 $3\mid x_i$，$\bigvee_{i=1}^nx_i=t$。答案模 $998244353$。$n,t\le10^{18}$。

  不太签到的题。联想十进制下 $\bmod~3$ 的结论，发现 $3\mid x_i$ 等价于从最低位起，相邻两个 bit 为一组，各组数值之和是 $3$ 的倍数。容斥没有满足或起来为 $t$ 的 bit 组计数即可。

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  「B. 最短路径」 给定一棵含有 $n$ 个点的树，以及其中一个大小为 $m$ 的关键点集 $S$。对于 $S$ 中 $|T|=k$ 的子集 $T$，求依任意次序遍历过 $T$ 中所有结点的最短路径长度的期望。答案模 $998244353$。$n\le2\times10^3$，$m\le300$。

  遍历 $T$ 的最短路径长度显然是 $T$ 的虚树所含边数 $\times2$ 减去 $T$ 的树上直径，分别计数。对于边数，枚举边，求这条边两侧都有关键点的方案数；对于直径，令 $d(u,v)$ 表示 $u,v$ 的树上距离，对于路径 $D(u,v)$ 定义一个严格偏序关系：

$$D(u,v)<D(x,y)\Leftrightarrow d(u,v)<d(x,y)\lor (d_(u,v)=d(x,y)\land (u,v)>(x,y)).$$

其中 $(u,v)>(x,y)$ 指一般的二元组偏序关系，当然也可以替换成方便区分的其他式子。在此基础上，可以证明对于 $D(u,v)$，若不存在 $w$ 能够使 $D(u,w)>D(u,v)\land D(v,w)>D(u,v)$ 变大，则 $D(u,v)$ 是直径。枚举直径 $D(u,v)$，求出无法更新直径的点集 $\{w\}$，剩下的 $k-2$ 个关键点都取自 $\{w\}$，组合算贡献。

  为什么我忽略了边数和直径可以拆开算啊……

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  「C. 仙人掌」 给定一株仙人掌，求其邻接矩阵的行列式。$n\le 10^5$。

  等价于边匹配，得到的排列中，二阶轮换的贡献是 $-1$，其余 $k$ 阶轮换的贡献是 $2\times(-1)^{k-1}$。圆方树 DP 即可。

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  「D. 对弈」 Cover「SDOI 2011」黑白棋。我不会，但是。

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  2021.11.03 @ LOCAL/20211103/

  「A. 鲜血之女王」 水，不过赛时无脑 DP 压根没证正确性（虽然过了。

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  「B. 撤离」 求排列 $\{p_n\}$ 冒泡排序恰好进行 $k$ 次 swap 后得到的排列。$n\le10^6$。

  我真的做过这道题吗？ 我会求进过完整 $t$ 轮后的交换次数，也会求到经过完整 $t$ 轮后得到的排列，而一轮最多 swap $\mathcal O(n)$ 次，所以在这个排列的基础上再模拟一轮冒泡即可。

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  「C. 闪蝶」 水，线段树维护 GF 板题（但是选手不得试图使用生成函数。

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  「D. 缘分的天空」 给定一棵含 $n$ 个结点的树，对于 $k=0,1,\dots,n-1$，求随机切树上 $k$ 条边得到的森林中，每棵树所含结点数量的平方之和的期望值。答案模 $(10^9+7)$。$n\le10^5$。

$$\begin{aligned} E_k(|T|^2) &= E\left[\left(\sum_u [u\in T]\right)^2\right]\\ &= E\left(\sum_u [u\in T]^2\right)+2E\left(\sum_{u\not=v}[u\in T][v\in T] \right)\\ \end{aligned}\\ \begin{aligned} \Longrightarrow E_k\left(\sum_i |T_i|^2\right) &= n+2\sum_{u\not=v}[\operatorname{path}(u,v)\in G_k]\\ &= n+\frac{2}{(n-1)^{\underline{k}}}\sum_{l=1}^{n-1}c_l(n-1-l)^{\underline{k}}. \end{aligned}$$

其中 $c_l$ 表示原树上长度为 $l$ 的路径条数。若能求出 $\{c\}$，可以发现这个式子是差卷积：

$$E_k\left(\sum_i |T_i|^2\right)=n+\frac{2}{(n-1)^{\underline{k}}}\sum_{l=0}^kc_l(n-1-l)!\cdot\frac{1}{(n-1-l-k)!}.$$

  好吧其实难点是实现，求 $\{c\}$ 可以 DSU 或者点分，但得写多项式卷积。注意路径条数不超过 $n^2$，所以可以写模 long long 的 NTT。但是最后这个卷积是真的没办法——只能写 MTT。总之吧我一份代码写了 MTT + NTT，常数大概是标算的 $0.2$ 倍叭。但是有 9K 的码量。

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  2021.11.04.

  「A. 谜之阶乘」 水。

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  「B. 子集」 将 $1\sim n$ 划分为 $k$ 组，每组大小相等且数字和相等。多测，$\sum n\le10^6$。

  每组大小是偶数显然；若是奇数，尝试先用一些数组把每组大小填充成偶数。观察样例并打表发现可用 $1\sim 3k$ 填每组前 $3$ 个，具体构造方法多种多样（我懒得描述了√

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  「C. 混凝土粉末」 $\{a_n\}$ 初始全为 $0$，$q$ 次操作，区间加，询问某个 $a_i$ 最早什么时候 $\ge h$。$n,q\le10^6$。

  对不起两个 log 无脑整体二分能操过。 离线下来，在序列上做扫描线，在时间轴上维护 BIT 或线段树，树上二分求答案，即可做到单 $\log$。

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  「D. 排水系统」 挺可爱的题 w。我的题解。

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  2021.11.05.

  「A. 回文」 给定字符矩阵 $\{S_{n\times m}\}$，求从 $(1,1)$ 出发走到 $(n,m)$ 且只向下或向右走的所有路径中，依次经过的字符形成回文字符串的路径数量。$n,m\le500$。

  明显只能从起点和终点同时 DP。$f(i,j,k)$ 表示起点终点各走 $i$ 步，起点走到第 $j$ 行，终点走到第 $k$ 行，当前行走路径字符串对称的方案数。讨论一下转移，滚掉第一维状态就行了。

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  「B. 快速排序」 水。

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  「C. 混乱邪恶」 给定 $A\subseteq\{1,2,\dots,m\}$，$|A|=n\in(\lfloor\frac{2m}{3}\rfloor,m]$。求 $S\cup T=A,S\cap T=\varnothing$，且 $\sum_{a\in S}a=\sum_{b\in T}b$。$m\le10^6$。

  要看出这是道构造题而非乱搞题就很难啊喂。 如果 $n$ 是奇数，令 $A\leftarrow A\cup\{0\}$。将 $A$ 的元素升序排列后，令 $d_i=a_{2i}-a_{2i-1}$，我们尝试用 $\{d_{n/2}\}$ 来构造等和。（为什么想到两两捆绑？这就是传说中构造题的 movitation？）

  观察 $\{d_{n/2}\}$ 的性质：$\sum_id_i\le m-\frac{n}{2}<n$（利用题设性质，太 tm 妙啦），即至少有一个 $d_i=1$。接着归纳构造：

• 若 $\forall d_i=1$，由于 $2\mid\sum_id_i$，必然有解；

• 否则，将 $\{d\}$ 中最大值和最小值（必为 $1$）取出，将它们的差值返还。

  这个方法显然是很厉害的。

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  「C. 校门外歪脖树上的鸽子」 给定一棵维护序列长度为 $n$，随便划分区间的线段树，支持 $m$ 次区间加或查询区间和操作。但是标记不下传。$n,m\le2\times10^5$。

  左右加哨兵，变成类似 ZKW 线段树的形式，修改查询都类似于走一条路径，修改/统计某侧儿子的贡献，所以你永远可以相信 毛毛虫剖分。

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  2021.11.06.

  「A. 破门而入」 水，但有个傻子拿 EGF 推出式子准备开始写暴力卷积的时候发现这是第一类 Stiring 数。

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  「B. 翻转游戏」 从读完题到证完结论不到 30s.jpg。

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  「C. 奶油蛋糕塔」 总不能看不出是欧拉路吧，但有个傻子状压连通性+状压度数奇偶性大力 DP WA 了。😅

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  「D. 多重影分身之术」 建议换道题放 T4。

  我敲？这就是今天的题解吗？！

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  2021.11.07. 总之就很辣鸡。

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  2021.11.08. 今天是 Yet another NOI Professional Simulation。（

  「A. NOIP 2018」 水。

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  「B. CSP 2019」 给定 $n$ 阶矩阵 $A$ 和列向量 $b$，$T$ 次询问，每次询问给出 $k$，求 $\bmod 2$ 意义下的 $A^kb$。$n,\sum \log_2k\le2\times10^3$。

  取 $A$ 的特征多项式 $p(x)=|xI-A|$，由 $\sf Cayley–Hamilton$ 定理，$p(A)=0$。令

$$r(x)\equiv x^k\pmod{p(x)},$$

那么 $A^k=r(A)+kp(A)=r(A)$。而 $\deg r=\mathcal O(n)$，考虑答案形式为 $\sum_i r_iA^ib$，可以预处理 $A^ib$快速求解。

  写不来，全程口胡。

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  「C. CSP 2020」 定义正整数 $x$ 的拆分是数列 $\{t_k\}$，满足 $t_i\in\{0,1,\dots,9\},\sum t=x$，此时将 $t$ 依次写下作为一个十进制数 $v_x$。现给出 $m$，对于 $n=1,2\dots,m$，求 $n^3$ 的所有拆分得到的 $v_{n^3}$ 去重并升序排序后的第 $n^4$ 个数。答案模 $p$（不保证为素数）。$m\le10^3$。

  注意到成为答案的 $v_x$ 应有 $\log_{10}v_x\approx\frac{x}{9}$。因为在 $\overline{a99\dots9}$ 中选若干个 $9$ 减去 $1$，令 $a$ 加上减去的总和，这一方案数的规模远大于 $n^4$。

  回到题目，这种题惯用手法是确定位数，再从高到低枚举，用方案数判断当前位的取值。预处理约 $n^{1.5}$ 范围内的方案数，对于超过该范围的方案，组合数的快速增长让我们可以快速判断与需求方案数的大小关系。最后，只特判后导 $9$ 的起始位置即可。总复杂度为 $\mathcal O(m^{2.5})$。

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  「D. NOIP 2021」 对于素数 $p=4324321=2^5\times3^3\times5\times7\times11\times13+1$，取其原根构成的序列 $\{g_0,g_1,\cdots,g_{m-1}\}$ 作为密钥，对于明文串 $S$，定义加密 $s_i\mapsto g_{i\bmod m}^{s_i}\bmod p$。现给出 $m$ 和密文 $S'~(|S'|=n)$，解出明文 $S$。$m\le10^5$，$40m\le n\le 50m\le5\times10^6$。保证明文是有意义的英文段落，$s_i$ 是大小写字母以及 $\{\text{' '},\text{'.'},\text{','},\text{'?'},\text{'!'},\text{'-'},\text{'"'},\text{'''},\text{':'},\text{'('},\text{')'},\text{';'}\}$ 中的一个。

  任取一个 $p$ 的原根 $r$，令 $g_i=r^{\alpha_i}$，显然 $\alpha_i\perp\varphi(p)$。那么 $s'=g_i^s\Rightarrow \operatorname{Ind}_r s'=\alpha_is$。$\operatorname{Ind}_r s'$ 是可求的，我们枚举 $s$，解同余方程就能够得到若干可能 $\alpha_i$，用 $\alpha_i$ 尝试解密一些 $s$ 即能判断合法性，考虑到对于错误的密钥，解出字符在字符集内的概率极小，视为 $\mathcal O(1)$。现在就几乎能完成解密了，不过很卡常。

  联系 $S$ 是英文文段以及生活实际，猜测一些字符在至少 $40$ 个位置中必然出现，关键问题是找到方便后续计算的字符。注意到 $\alpha_i\perp\varphi(p)$，即 $\gcd(\operatorname{Ind}_rs',\varphi(p))$ 完全来自 $s$。注意到 $s\in\{\text{i},\text{h},\text{n},\text{l},\text{u},\text{p},\text{c}\}$ 时恰整除 $\varphi(p)$；当 $s=\text{' '}$ 时，$s$ 的倍数全为非法字符。所以直接考查 $\operatorname{Ind}_rs'$ 对于它们的整除性即可。

  看什么看，我写 T 了。

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  2021.11.10.

  「A. 开挂」 水。

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  「B. 叁仟柒佰万」 水。

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  「C. 超级加倍」 给定一棵树含 $n$ 个结点的树，求路径 $(u,v)$ 的数量，使得 $u\not=v$，且 $u$ 是路径经过结点中标号最小的，$v$ 是路径经过结点中标号最大的。$n\le2\times10^6$。

  我是不是傻 qwq。 点分治？我想我优化不动二维偏序。而注意到树上最大最小，应该联想到笛卡尔树。建出大根笛卡尔树和小根笛卡尔树，那么 $(u,v)$ 合法当且仅当在大根树上 $v$ 是 $u$ 的祖先，在小根树上 $u$ 是 $v$ 的祖先。在一棵树上 DFS，BIT 维护另一棵树上的 DFN 即可。复杂度 $\mathcal O(n\log n)$。

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  「D. 欢乐豆」 给定含 $n$ 个结点的有向完全图，边 $\lang u,v\rang$ 的权为 $w\lang u,v\rang=a_u$，现修改 $m$ 条边的点权，求两两最短路之和。$n\le10^5$，$m\le2\times10^3$。

  显然由修改的边构成的图中，不同的连通块相对独立。在一个连通块中，可以线段树优化 Dijkstra 暴力做最短路。所以可以做到 $\mathcal O(m^2\log m)$。有一些并不太困难的小细节叭。

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  2021.11.11.

  「A. 嗑瓜子」 水。

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  「B. 第 k 大查询」 给定排列 $\{a_n\}$，求所有长度大于 $k$ 的区间的第 $k$ 大值之和。$n\le5\times10^5$，$k\le50$。

  从 $n$ 到 $1$ 枚举第 $k$ 大值 $x$，一个区间的第 $k$ 大为 $x$ 当且仅当其中包含恰好 $k$ 个大于等于 $x$ 的数。维护已经枚举过的值，发现可能作为合法区间端点的只有 $\mathcal O(k)$ 段，暴力计算答案即可。

  神 tm std::set::iterator 的自加是最坏 $\mathcal O(\log n)$ 的，只有扫描整个 set 是均摊 $\mathcal O(1)$ 的（相当于遍历一棵树），T 飞了。

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  「C. 树上路径」 给定一棵含有 $n$ 个结点的树，设 $l_1,l_2$ 是两条点不交路径的长度（经过结点个数），求可能的 $(l_1,l_2)$ 的数量。$n\le5\times10^5$。

  路径点不交，那么存在一条边，使得割掉这条边后两条路径分别处于两棵子树，换根求出两棵子树的直径后转化成矩阵并（其实就是后缀最大值）。（换根有点细节别写错了 qwq。

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  「D. 糖」 数轴上依次有 $(n+1)$ 个关键点，第 $0$ 个点为原点，第 $i$ 个关键点的坐标是 $a_i$。你从 $0$ 出发，每走一单位吃掉一颗糖，每到达一个关键点，可以以 $b_i$ 的单价买糖，以 $s_i$ 的单价买糖，但最多携带 $C$ 颗糖。求到达 $n$ 号关键点时的最小花费（假设你初始的钱足够多）。$n\le2\times10^5$，保证有解且答案有限。

  做这种买卖问题的一贯套路是：凭空买，凭空卖，等价操作赚大钱。我们直接从等价操作的角度研究：

• 买入再以相同价格退掉 $\Leftrightarrow$ 不买，所以每到一个关键点可以补满背包。

• 买入，篡改价格，退掉 $\Leftrightarrow$ 低买高卖，所以我们只需要处理“买”和“退”两种操作。

  实现上，走到 $i$ 时，维护当前背包内剩余的糖果集合 $S$，并保持价格单调性。将背包内所有价格 $<s_i$ 的糖果价格篡改为 $s_i$（卖）；将背包内所有价格 $>b_i$ 的糖果价格改为 $b_i$（重新买），并用当前 $b_i$ 补满背包；最后吃掉下一步需要的糖果（挑便宜的吃咯）。