world.construct(me);

目录

• 0 引言
  • 0.1 所谓构造题
  • 0.2 重点是动机 (motivation)
• 1 实践出真知
  • 1.1 「CSP-S 2021」「洛谷 P7915」回文
    • 1.1.1 题目大意
    • 1.1.2 解题过程
  • 1.2 「ARC 110F」Esoswap
    • 1.2.1 题目大意
    • 1.2.2 解题过程
  • 1.3 「多校联训」子集
    • 1.3.1 题目大意
    • 1.3.2 解题过程
  • 1.4 小结
• 2 拼盘得正解
  • 2.1 「CF 1450C2」Errich-Tac-Toe (Hard Version)
    • 2.1.1 题目大意
    • 2.1.2 解题过程
  • 2.2 「CF 1364D」Ehab's Last Corollary
    • 2.2.1 题目大意
    • 2.2.2 解题过程
  • 2.3 小结
• 3 博弈出题人
  • 3.1 「Gym 102900B」Mine Sweeper II
    • 3.1.1 题目大意
    • 3.1.2 解题过程
  • 3.2 「CF 1205D」Almost All
    • 3.2.1 题目大意
    • 3.2.2 解题过程
  • 3.3 小结
• 4 模块建大楼
  • 4.1 「CF 1368C」Even Picture
    • 4.1.1 题目大意
    • 4.1.2 解题过程
  • 4.2 「OurOJ #46544」漏斗计算
    • 4.2.1 题目大意
    • 4.2.2 解题过程
  • 4.3 小结
• 5 生活在树上
  • 5.1 「CF 1586E」Moment of Bloom
    • 5.1.1 题目大意
    • 5.1.2 解题过程
  • 5.2 「IOI 2019」「洛谷 P5811」景点划分
    • 5.2.1 题目大意
    • 5.2.2 解题过程
  • 5.3 「CF 1214H」Tiles Placement
    • 5.3.1 题目大意
    • 5.3.2 解题过程
  • 5.4 小结
• 6 调整化腐朽
  • 6.1 「CF 141E」Clearing Up
    • 6.1.1 题目大意
    • 6.1.2 解题过程
  • 6.2 「CF 1396E」Distance Matching
    • 6.2.1 题目大意
    • 6.2.2 解题过程
  • 6.3 小结
• 7 归纳为神奇
  • 7.1 「CF 1470D」Strange Housing
    • 7.1.1 题目大意
    • 7.1.2 解题过程
  • 7.2 「WF 2014」「洛谷 P6892」Baggage
    • 7.2.1 题目大意
    • 7.2.2 解题过程
  • 7.3 小结
• 8 走出构造题
  • 8.1 「OurOJ 46602」糖
    • 8.1.1 题目大意
    • 8.1.2 解题过程
  • 8.2 「OurOJ 28793」硬币游戏
    • 8.2.1 题目大意
    • 8.2.2 解题过程
  • 8.3 小结
• 9 何为构造题
  • 9.1 构造出何物
  • 9.2 动机从何来
• 10 参考资料 & 致谢

  标题化用自 《world.execute(me);》。

0 引言

0.1 所谓构造题

  构造题这种题型，不同于常见的计数或最优化问题，它一般要求选手给出任意一组符合一定要求的答案，即使冠以“最优的答案”之名，往往求得“最优值”比较轻易，构造题的难点集中于方案构造。而正如 OI Wiki 所介绍的：

  构造题一个很显著的特点就是高自由度，也就是说一道题的构造方式可能有很多种，但是会有一种较为简单的构造方式满足题意。看起来是放宽了要求，让题目变的简单了，但很多时候，正是这种高自由度导致题目没有明确思路而无从下手。

  构造题普遍的高思维难度以及老少咸宜（？）的代码实现难度，使得它在竞赛中的考察越来越频繁（NOIP 2020 T3, CSP-S 2021 T3, 所以下一道是……）。因此，雨兔 秉承直面恐惧的精神， 为大家整理归纳了一些构造题与其思想精髓，希望能帮助大家切掉 T3。（开始押题.jpg

0.2 重点是动机 (motivation)

  如 Tiw 所言，构造题的思考方式和传统 OI 题的思考方式并没有很大隔阂。只不过，构造题将重心放在了思维而非算法优化，这导致思考过程中找不到“为靠向某某算法进行转化”的步骤，也导致看了题解后觉得“这条思考链并不长，而我想不到”继而自闭的后果，这很正常。面对构造题，应当做好抛弃前人封装好的所谓“算法”的觉悟，自己走出思考链，哪怕并不长，步步皆思维。正如你被要求造出高效维护区间的数据结构——在你学线段树之前。

  而在写一道构造题的题解时，我觉得重点是动机——具体的构造方法是谜底，只有让人拍案叫绝的功能，但真正领悟一道题的价值，需要学习的是从谜面或思考，或打表，或猜测……在人类智慧的努力下得到谜底的过程。也希望大家写构造题题解的时候能够注意，读者真正想要的，是“为什么这么想”。

  扯了那么多，我们开始叭。为了让例题发挥最大功效，我会先放题和具体解法，最后给出一个章节的总结。

1 实践出真知

1.1 「CSP-S 2021」「洛谷 P7915」回文

1.1.1 题目大意

  Link.

1.1.2 解题过程

  ——手玩是正道。

  读完题，抓住重点：每个数恰好出现两次 \(\Rightarrow\) 第一次操作数字 \(x\) 的时刻决定了第二次操作数字 \(x\) 的时刻。另一方面，也应该意识到本题设的难点：双端操作。

  Motivation: 我想要给双端操作加上限制，例如……固定一个点，双端队列就会变成栈。

  “固定一个点”？固定最后一次操作的点是最牢靠的……等等，根据上文的结论，固定最后一次操作的点不就是固定第一次操作的点吗？第一次能操作的点不就两个吗？！枚举一下，问题就解决了呀。

  “我没这个想法？”别担心，你但凡手玩任何一组样例，哪怕只玩第一步，都能得到思路。

1.2 「ARC 110F」Esoswap

1.2.1 题目大意

  Link.

1.2.2 解题过程

  ——样例是题解。

  样例解释：

• First, announce \(i=6\). We swap \(P_6(=5)\) and \(P_{(6+5)\bmod8}=P_3(=6)\), turning \(P\) into \(7,1,2,5,4,0,6,3\).

• Then, announce \(i=0\). We swap \(P_0(=7)\) and \(P_{(0+7)\bmod8}=P_7(=3)\), turning \(P\) into \(3,1,2,5,4,0,6,7\).

• Then, announce \(i=3\). We swap \(P_3(=5)\) and \(P_{(3+5)\bmod8}=P_0(=3)\), turning \(P\) into \(5,1,2,3,4,0,6,7\).

• Finally, announce \(i=0\). We swap \(P_0(=5)\) and \(P_{(0+5)\bmod8}=P_5(=0)\), turning \(P\) into \(0,1,2,3,4,5,6,7\).

  一方面，样例具有迷惑性，且构造题一般没有大样例，而对于小样例，出题人很可能在标算输出的解法上进行手动调整；另一方面，相信懒惰的出题人给出的方案一定程度上相似于标算解法。所以——

  Motivation: 我想用“主观感知”调整并阐释出样例方案的遵循的模式。

  观察本题样例解释，发现三次 \(p_i=5\)，一次 \(p_i=7\)。考虑到样例的迷惑性，我们尝试让对 \(p_i=5\) 的操作挨在一起。交换第一步和第二步，发现操作序列仍合法。

  接下来，我们强行解释该操作序列的内在逻辑：

• 希望 \(p_7=7\)，反复操作 \(p_i=7\) 直到 \(p_7=7\)；
• 希望 \(p_7=7\land p_6=6\)，反复操作 \(p_i=6\)（样例中不需要操作），直到不满足 \(p_7=7\) 回到第一步，或满足 \(p_6=6\)；
• 希望 \(p_5=5\land p_6=6\land p_7=7\)，操作同上。
• ……

  综上，交换策略为

• 选择不满足 \(p_i=i\) 的最大的 \(p_i\) 进行交换直到序列升序。

  戏剧性的是，这波分析猛如虎，得到的并不是题解做法，也并没有证明构造的复杂度，但是我确实以这种构造方法通过了本题。这其实也反应了构造题给选手带来的机会——出题人难以想象到所有非正解做法并造出对应的 hack 数据，也就是说，扯淡的思路甚至更有可能得大分。

1.3 「多校联训」子集

1.3.1 题目大意

  Private link.

题意简述

  将 $1\sim n$ 划分为 $k$ 组，每组大小相等且数字和相等。多测，$\sum n\le10^6$。

1.3.2 解题过程

  ——暴搜是艺术。

  \(2\mid\frac{n}{k}\) 的情况显然，不断取最大最小值匹配即可。而就算 \(2\nmid\frac{n}{k}\)，我们也不想浪费那么简单的构造方法——

  Motivation: 我想尽可能快地将问题化归为 \(2\mid\frac{n}{k}\) 的情况。

  联系样例 \(n=9,k=3\) 有解，我们尝试用“最快”的方法化归——将 \(1\sim 3k\) 分给集合，每个集合分 \(3\) 个，使得每个集合等和。这个……手玩有点困难啊。

  Motivation: 我手玩不动。

  写一个暴搜，大概是依次枚举 \(1\sim 3k\)，再枚举数字填入集合 \(1\sim k\)。我记得我写出来搜到的第一组 \(k=5\) 时的解是：

1 ? ?
2 ? ?
3 ? ?
4 5 ?
? ? ?

  这直接给我整不会了啊，长得那么丑（我甚至记不得具体长相），怎么找规律？注意到第一列 1 2 3 4 都齐了，那把 \(5\) 放第一列应该也有解？

  Motivation: “字典序最小”的解并不优美，我想人为给它加上限制。

  这样写了之后，第一列是 1 2 3 4 5，也有一堆解，但其中字典序最小的解的后两列还是乱麻。这个时候，我随便翻了翻所有的解，看到一个：

1 9 14
2 10 12
3 6 15
4 7 13
5 8 11

  这个第二列就有规律了：从中间位置开始，6 7 ...，接着再从最顶上开始，9 10 ...，第三列自然可以通过总和减出来。再依次规律验证一下 \(k=7\) 的情况，发现同样适用，就结束啦。

1.4 小结

  为什么把“实践”放在第一节讲？当然是因为

劳动是人类的本质活动。 ——马克思

  构造题难以下手，那就应当尝试从简单下手，如上文中对样例、样例解释和暴搜的灵活应用，虽然并不是严谨的“题解”，但应用在赛场上，不仅能帮助我们稳定心态，高效思考，也能在想不出正解时及时止损。

2 拼盘得正解

2.1 「CF 1450C2」Errich-Tac-Toe (Hard Version)

2.1.1 题目大意

  Link.

2.1.2 解题过程

  ——别忘记小奥。

  首先，就个人经验来说，不要妄想用调整法在棋盘上直接搞，如果你过了当我没说。（

  Motivation: 三连棋我并不熟悉，但如果是“二连棋”……这是二分图？

  想一想若是二连棋，我们可以把棋盘交替黑白染色，若令所有黑格只能是 X，所有白格只能为 O，那么必然平局；若令所有黑格只能是 O，所有白格只能是 X，也必然平局。但是，这两个方案都完全不能保证操作次数呢……

  Motivation: 我想利用这两个并不一定正确的方案。

  挣扎一下？如果一种方案不行，就采用另一种……等等，两种方案操作次数之和为 \(k\)，根据鸽巢原理，必然有一种操作次数 \(\le\lfloor\frac{k}{2}\rfloor\)！

  同理地，对于三连棋，我们直接三染色——令 \((i,j)\) 的颜色为 \((i+j)\bmod 3\)，构造三种方案使得操作之和恰为 \(k\)，就必然有一种操作次数 \(\le\lfloor\frac{k}{3}\rfloor\)。

2.2 「CF 1364D」Ehab's Last Corollary

2.2.1 题目大意

  Link.

2.2.2 解题过程

  ——NPC Solver.

  Motivation: 这类题想必大家见过了，常见的想法是：以一个问题无解为条件，解决另一个问题。

  首先，如果无环，直接树上二染色选其中一个集合；否则，考虑极小（注意不必要是最小）的环的大小 \(s\)：

• 若 \(s\le k\)，回答问题二。

• 否则 \(s\ge k+1\)，由于 \(s\) 是极小的环，所以环内没有弦，那么隔一个选一个，能选出 \(\lfloor\frac{k+1}{2}\rfloor\) 个，也即是 \(\lceil\frac{k}{2}\rceil\) 个点。

  两个不保证正确性的解法构成互补关系，让程序自己挑一个舒服的来做叭。

2.3 小结

  从鸽巢原理到 NPC 二选一（虽然 2.2 的第二问似乎是 P 的），我们应当把一些“显然的错解”记录下来，想一想它们的适用条件，说不定一个拼盘就拼出了全集。

3 博弈出题人

3.1 「Gym 102900B」Mine Sweeper II

3.1.1 题目大意

  Link.

3.1.2 解题过程

  ——抓隐含条件。

  请问你会算一个局面下所有格子数值的和吗？——会呀。

  既然如此……出题人告诉我 \(B\) 干嘛？！

  Motivation: 出题人告诉了我与问题不直接相关的 \(B\)，那我就用 \(B\) 作为条件来构造 \(A\)。

  同时，发现把一个局面的雷和空格反转，数值和不变（每对雷-空格的关系仍存在），那么 \(A\) 就能变成 \(B\) 和 \(\lnot B\) 中的一个。联系 2.1，两个方案反转总数是 \(nm\)，根据鸽巢原理，必然存在一解。

3.2 「CF 1205D」Almost All

3.2.1 题目大意

  Link.

3.2.2 解题过程

  ——猜系数由来。

你一看这个 \(\lfloor\frac{2n^2}{9}\rfloor\)，就该想到 \(\frac{2}{9}=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\)。 ——Tiw

  出题人在这类题目里留下了奇怪的系数，看着很毒瘤，但请相信，那是出题人给你留下的提示。

  希望不会有出题人帮你把 2/9 放松到 11/53 之类的玩意儿。

  Motivation: 我想凑出 \(\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\) 的情景。

  直接数字观察太科幻了，想一想这个乘法，很可能是乘法原理，也就是说……把树划分为两个部分，仅考虑两部分间的路径？

  划分本身并不困难，但理应做到越平均越好，注意 \(\frac{2}{9}\) 应是下界。

  Motivation: 子树大小平均 \(\Rightarrow\) 重心。

  若能在重心上，我们能够将一些子树划为重心所在连通块作为第一部分，另一些子树一起作为第二部分，两部分有一个公共“顶点”重心，就能用乘法原理了。

  事实上，这是可行的。不断合并最小的两棵子树即可。最“不平均”的情况即有三棵大小相等的子树，最终得到 \(\frac{1}{3}\) 和 \(\frac{2}{3}\)。

  另一方面，我们还需要实现“乘法原理”。根据前文的铺垫，乘法中的“单个物品”是结点到重心的的距离。也就是说，设 \(A\) 是第一部分中结点到重心的距离集合，\(B\) 是第二部分中结点到重心的距离集合，我们希望 \(A+B=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}=\{1,2,\dots,|A|\cdot|B|\}\)。

  这是……进制？

  不妨设 \(|A|\le|B|\)，则令 \(A=\{1,\dots,|A|\}\)，\(B=\{(|A|+1),2(|A|+1),\dots,|B|(|A|+1)\}\)，不难发现我们达成了目标。

  此时，问题已然转化为：为边赋权，使得每个结点到根的距离构成某集合 \(C\)。这个问题比较简单，把 \(C\) 中最小的值赋在根的某一条邻接边，以此分为两个子树归纳构造即可。

  如果你去看官方题解，你会发现这里给出的解题过程几乎是反过来的。这个例子放在这里的作用是强调系数观察的重要性。实际解题过程中，思路因人而异，正推、逆推或者双向搜索各有优劣，看自己的习惯灵活使用吧。

3.3 小结

  构造题难在“自由”，那么出题人给出的复杂限制不失为一种提示与帮助。从条件入手，从限制系数入手，结合问题背景合理联想想象。可以说，做构造题的另一种思路便是：猜猜出题人怎么做。

4 模块建大楼

4.1 「CF 1368C」Even Picture

4.1.1 题目大意

  Link.

  希望你解决 OneInDark 的加强题目：限制 \(k\le 3n\)。不过 Rainybunny 更希望你做到更优。

4.1.2 解题过程

  ——局部到整体。

  那什么，确实很难不被推翻。（

  Motivation: 我想构造一个贡献率高的结构。

  什么贡献率高嘛？一坨点呐。

..#..
.###.
#####
.###.
..#..

  （如果你构造的是正放的正方形，也会为了合法而调整成这种形状。）可惜的是，我们还是难以把这一坨弄合法。稍微变形一下？

..##..      ...##...
.####.      ..####..
######  =>  ########
.####.      #.####.#
..##..      #..##..#
            #......#
            ########

  首先，局部层面，这个模块自身是优秀的；其次，这个模块是可通过简单调整合法的；更有趣的，整体上说，这个模块可连续使用：

      ..##.....##..
      .####...####.
- - - ############# - - -
      .####...####.
      ..##.....##..

  什么意思呢？有点像倍增：我们每次构造一大坨，使得其贡献恰好不超过 \(n\)，然后将 \(n\) 减去贡献，继续构造。可以发现，这种构造方法所需的 # 的个数为 \(n+\mathcal O(\sqrt n)\)，当 \(n=300\) 时仅需 \(442\) 个 #。

  当然，构造方法多种多样，希望得到更好的做法呢。

4.2 「OurOJ #46544」漏斗计算

4.2.1 题目大意

  Private Link.

题意简述

  定义一个运算结点 \(u\) 有两个属性：当前容量 \(x_u\)、最大容量 \(V_u\)。提供以下单元操作：

1. I 读入一个整数 \(x\)，令新结点 \(u=(x,x)\)。

2. F u 装满 \(u\) 结点，即令 \(x_u=V_u\)。

3. E u 清空 \(u\) 结点，即令 \(x_u=0\)。

4. C s 令新结点 \(u=(0,s)\)。

5. M u 令新结点 \(v=(0,x_u)\)。

6. T u v 不断令 \(x_u\leftarrow x_u-1,x_v\leftarrow x_v-1\) 直到 \(x_u=0\) 或 \(x_v=V_v\)。

  构造不超过 \(10^4\) 次操作的一个运算方法，输入 \(a,b\)，输出 \(ab\bmod 2^{18}\)。

  \(0\le a,b\le 10^5\)。

4.2.2 解题过程

  ——模块化编程。

  先从条件入手，发现给的运算实在垃圾的离谱，而且只有一个二元运算 \(T(u,v)\)。

  Motivation: 只有一个二元运算，所以我想用且仅能用它来实现基本的“逻辑判断”功能。

  再从问题考虑，不难想到用龟速成求 \(ab\)，继而取模可以化简为“若某值大于 \(262144=2^{18}\)，则令其减去 \(2^{18}\)。那么我们至少需要实现这些模块：

• 加法器：输入结点 \(u,v\)，输出 \(w\)，满足 \(x_w=x_u+x_v\)。

• 逻辑减法器：输入结点 \(u,v\)，输出 \(w\)，若 \(x_u\ge x_v\)，\(x_w=x_u-x_v\)；否则 \(x_w=x_u\)。

  注意，模块应能够独立完成相应功能，并且足够简洁，切忌复杂化问题本身。用模块封装功能，本质上就是理清思维的过程。由于本题细节较复杂，下文讲解会佐以代码片段。

  加法器比较方便：新建一个大容量点，把两个加数复制一份倒进去就好。先实现一个复制当前容量器：

inline int copyNum( const int u ) {
    printf( "M %d\n", u ), ++node;
    printf( "F %d\n", node );
    return node;
}

  再实现加法器：

inline int add( const int u, const int v ) {
    printf( "C 1000000000\n" ); int res = ++node;
    printf( "T %d %d\n", copyNum( u ), res );
    printf( "T %d %d\n", copyNum( v ), res );
    return res;
}

  逻辑减法？先要判断大小关系。而 \(T(u,v)\) 之后 \(x'_u=\max\{x_u-x_v,0\}\)，我们只需要判断一个结点的当前容量是否为 \(0\)。好消息是，我们能够实现逻辑非器：

inline int logicNot( const int u ) {
    printf( "M %d\n", u ), ++node;
    puts( "C 1" ), ++node;
    printf( "F %d\n", node );
    printf( "T %d %d\n", node, node - 1 );
    return node;
}

  内部逻辑比较易懂就不讲啦。在此基础上，实现普通减法器和逻辑减法器：

inline int sub( const int u, const int v ) {
    printf( "M %d\n", v ); int tmp = ++node;
    printf( "T %d %d\n", copyNum( u ), tmp );
    return node;
}

inline PII logicSub( int u, int v ) {
    int f = logicNot( sub( u = add( u, 1 ), v ) );
    rep ( i, 1, 18 ) f = add( f, f );
    printf( "M %d\n", f ), f = ++node;
    printf( "T %d %d\n", v = copyNum( v ), f );
    return { u = sub( sub( u, v ), 1 ), f };
}

  逻辑减法器返回的 first 即减法结果，second 用于求解时重复利用。

  底层方法实现之后，剩下的工作就简单了：输入 \(a,b\)，计算 \(2a,4a,\cdots,2^{16}a\)，枚举 \(b\) 是否大于等于 \(2^{16}\dots2^0\)，若是，则减去，答案加上对应的权。都能用以逻辑非为基础的模块实现。

  操作次数复杂度为 \(\mathcal O(\log^2 V)\)（倍增以及内部的逻辑减法），我实现的常数较大，不过封装成模块很易懂就是了。（

  完整代码见 我的博客 嗷。

  接下来建议挑战瓶子国和跳蚤国。（bushi

4.3 小结

  正如上文所说，用模块封装功能，本质上就是理清思维的过程。从 4.2 这种真正意义上的功能封装到 4.1 所展示的“能独立实现功能，能协同组合运用”的“广义封装”，包括一些序列排序问题将给定操作组合成新的操作这种“步骤封装”，都有让问题“焕然一新”的作用。

5 生活在树上

5.1 「CF 1586E」Moment of Bloom

5.1.1 题目大意

  Link.

5.1.2 解题过程

  ——手动加限制。

  先考虑无解条件：若存在某个点 \(u\) 是奇数个询问路径的端点则无解。因为此时 \(u\) 的邻接边的总覆盖次数为奇数，与要求矛盾。

  Motivation: 图上问题太难处理了，我想把它变成树。

  注意这里的细节：我们先（在原问题上）判无解，再放到树上处理。因为“某棵树上有解”是“图上有解”的充分不必要条件，放到树上后尽可能保证必然有解，解法才算严谨。

  变成树，那随便取一棵生成树。对于每个询问直接覆盖树上路径，结束了。在不满足上文无解条件时必然有解。

  证明也比较简单：以子树角度考虑，每次把子树内向上的覆盖次数当成从父亲出发的询问，再删除子树。这能保持无解条件恒不成立。

  建生成树，就像是针对图上构造题的二向箔。（

5.2 「IOI 2019」「洛谷 P5811」景点划分

5.2.1 题目大意

  Link.

5.2.2 解题过程

  ——树上特殊点 & 性质要深挖。

  Motivation: 同上，图上下不了手啊，建 DFS 树（DFS 树额外拥有“非树边均为返祖边”的性质）。记得需要证明树上无解等价于图上无解。

  不妨设 \(a\le b\le c\)，显然我们让 \(A,B\) 分别连通即可。而在树上考虑，有点像 3.2，无非是把树切成两部分，让 \(A,B\) 分别能被其中一部分容纳。设切出来的一棵子树大小为 \(s\)，则 \(s\in[a,n-b]\cup[b,n-a]\)。

  考虑构造？不。\(a,b,c\) 算数上的性质还没有被发现。由于 \(a\le b\le c,a+b+c=n\)，所以 \(a\le\frac{n}{3},b\le\frac{n}{2}\)，继而 \(n-b\ge b\)，所以 \(s\) 只需保证有 \(s\in [a,n-a]\)。

  先把能够得到答案的情况剔除于思考进程：以 \(r\) 任意结点为根的 DFS 树中，若存在子树大小 \(\in[a,n-a]\) 则可以构造，接下来，则把不存在子树大小 \(\in[a,n-a]\) 当成新条件使用。

  接下来猜一猜 motivation？

  Motivation: 子树大小限制 \(\Rightarrow\) 重心。

  从 3.2 的“平均”到此处“限制”，可以发现所谓 motivation 可能不是“说出来就很有道理”，不然和推导没两样。正如某著名数学老师「硫氢根」所说，对已知知识要敏感，学会将性质“勾连”，“合理”联想。当然树上的重心啊直径啊你都拿出来试试也行。

  设重心为 \(g\)，由上文讨论，对于 \(g\) 的孩子 \(u\)，应有 \(s_u\not\in[a,n-a]\Rightarrow s_u< a\)。同理，\(s_g\not\in[a,n-a]\Rightarrow s_g> n-a\)，即若以 \(g\) 为根，\(g\) 原来父亲所在子树的大小也 \(< a\)。

  可见，不管我们怎么调整，这棵 DFS 很难再产生解了。怎么办？想起被遗忘的返祖边了吗？我们得把它们加回去。

  为利用返祖性质，还是保持 \(r\) 为根不变，且仍在 \(g\) 处考虑，返祖边的功能仅仅是：将 \(g\) 的一棵子树（或其子树的子树等，但这里用不到）丢到 \(g\) 的祖先（不包括本身 \(g\)）上。令 \(t\) 为以 \(g\) 为根时父亲的子树大小，我们可以做到：令 \(t\leftarrow t+s_u,s_g\leftarrow s_g-s_u\)，其中 \(u\) 是 \(g\) 的某个孩子，并且 \(u\) 子树内拥有指向 \(g\) 祖先的返祖边。

  到此，树上的分析差不多了，问题抽象成：有两个数 \(x,y\) 和一个集合 \(\{z_k\}\)，你可以时 \(y\) 减去一个子集和，\(x\) 加上同一个子集和，问能否使 \(y\in[a,n-a]\)。

  显然，由于初始有 \(y>n-a\)，若 \(\{z_k\}\) 中所有数的和都无法让 \(y\) 减小到不超过 \(n-a\) 的值，则无解；否则，由于区间 \([a,n-a]\) 的长度为 \(n-2a\ge\frac{n}{3}\)，而每个 \(z_i\in[1,a)<\frac{n}{3}\)，所以步长足够小，我们不断令 \(y\) 减去任意一个 \(z_i\)，必然存在一个时刻 \(y\) 落入 \([a,n-a]\)，此时我们得到了解。

  另一方面，我们还需要 \(g\) 处无解等价于图上无解，而考虑 \(g\) 的过程中实际上用到了图上所有边，所以仅需讨论其余结点做类似于 \(g\) 的操作也无解，这里省略不提 ，留作习题。

5.3 「CF 1214H」Tiles Placement

5.3.1 题目大意

  Link.

5.3.2 解题过程

  ——要素要察觉。

  首先呢，只有长度为 \(k\) 的路径才可能导致无解嘛。

  所以呢，这个 motivation 跟上一道挺对仗的：

  Motivation: 路径长度限制 \(\Rightarrow\) 直径。

  注意到颜色没有本质区别，不妨设直径 \((x,\dots,y)\) 按照 \(1~~2~~\cdots~~k~~1~~2~~\cdots\) 的周期染，此时考虑一条附在直径上结点 \(u\) 的链，链头是 \(v\)。不妨设 \(c_u=2\)，那么如果从左到右看，\(c_v\) 必须是 \(3\)；如果从右到左看，\(c_v\) 必须是 \(1\)，除 \(k=2\) 的情况外，这两个要求是矛盾的！

  因此可以发现，当 \(k\not=2\) 时，对于此类形式的链 \(P_v\)，必须满足直径两端至少有一个结点，它走到这条链的尾端，长度仍 \(< k\)，这样才能避免矛盾。也即是，\(\min\{P_v+P(u,x)|,P_v+P(u,y)\}< k\)。若所有链都满足条件，在以到直径较远一端的颜色为标准继续重复周期染色即可。

5.4 小结

  我们了解树远胜于图，本小节则强调了对树上要素的“联想”。DFS 树、重心、直径……人为限制构造的条件，从关键的点、路径入手考虑，反而是对问题的简化。

6 调整化腐朽

  正确断句：调整/化腐朽。（OneInDark 是魔鬼！

6.1 「CF 141E」Clearing Up

6.1.1 题目大意

  Link.

  注意题面中对“生成树”的定义不严谨，树中不能有重边或自环。

6.1.2 解题过程

  ——边界要活用。

  少有的我能一眼秒的构造题，泪目。

  Motivation: 先找找合法条件吧。

  一个显然的条件是，若能用 S 边（或 M 边）就用，仍无法让树中含有至少 \(\frac{n-1}{2}\) 条 S 边（或 M 边）则无解。

  然后呢，以对 S 边的判断为例，若判断为可能有解，那么我们会得到一棵 S 边多于 M 边的生成树。能否以此构造解呢？

  Motivation: 考虑到树边的可替换性，所以我想用调整法，不断加入 M 边直到树合法。

  正确性证明容易，这里不提。

6.2 「CF 1396E」Distance Matching

6.2.1 题目大意

  Link.

6.2.2 解题过程

  Motivation: 先想想解的上下界？

  从每条边的角度考虑，设边 \((u,v)\) 删去后得到的两棵树大小为 \(s_u,s_v\)，那么这条边最多被覆盖 \(\min\{s_u,s_v\}\) 次，最少被覆盖 \([2\nmid s_u]\) 次。据此我们可以得到答案的上界 \(U\) 和下界 \(D\)。注意求 \(U\) 时直接以重心为根就能去掉 \(\min\)。

  其实此时足够我们发现一个性质：\(k\) 存在解还需保证 \(k\equiv U\equiv D\pmod2\)。怎么证明？每次研究任意调整对答案奇偶性的影响。

  Motivation: 我想沿用证明奇偶性结论的思想，通过调整构造答案。

  以对 \(U\) 的调整为例：每次可选最大子树内的两个点 \(u,v\)，记它们的 LCA 为 \(w\)，深度为 \(d_w\)，则将它们配对，答案减少 \(2d_w\)。注意点数为偶数保证了最大子树的大小 \(-2\) 时重心可以保持不变，所以修改后必然能够找到对应的解。由于 \(d\) 的是连续的，所以必然能够找到合适的调整方法。需要用 STL 精细实现，但这不是主要矛盾所以略过。（

6.3 小结

  找答案上下界，再从其中一个向所求答案调整。这种思路让我们着眼于每次操作的影响，更容易发现操作本身的性质。

7 归纳为神奇

  正确断句：归纳/为神奇。（来自 OneInDark 的建议。

7.1 「CF 1470D」Strange Housing

7.1.1 题目大意

  Link.

7.1.2 解题过程

  ——证明即构造。

  Motivation: 我能否在证明解的存在性的同时构造方案？

  若图不连通显然无解。下归纳证明图连通时有解，且对于任意结点 \(u\)，存在一组解，使得 \(u\) 结点住了老师。

  首先，若 \(V=\varnothing\)，显然有解。

  接着，取任意一点 \(u\)，令 \(u\) 住下老师。在 \(G\) 上删除与 \(u\) 邻接的所有点及其连边，归纳构造每个连通块，同时钦定连通块中某个与删去点曾经相连的点住下老师。可见归纳总能完成。

  实现的时候可以直接按 DFS 序枚举结点，能住老师就住。这里的归纳只是为了写着更方便。（

7.2 「WF 2014」「洛谷 P6892」Baggage

7.2.1 题目大意

  Link.

7.2.2 解题过程

  ——转化向边界。

  Motivation: 样例的最小操作次数为 \(n\) \(\Rightarrow\) 最小操作次数为 \(n\)。（别笑，很常用的技巧。

  注意，对于最小化问题，先猜或证最小值，知道了最小值才有构造的目的性。

  对于 \(n\) 较小的情况，谨遵 1.4 中的教诲，我们能暴搜打表。对于大一点的情况，我们能否设计一个归纳？

  Motivation: 我想归纳。（简单明了.jpg

  具体而言，我们尝试把 _ _ B A B A ... B A 变成 A A A ... B B B ... _ _。这里简明地给出 jiangly 论文里的 例子：

_ _ B A B A B A B A ...B A B A B A
A B B A B A B A B A ...B A B _ _ A
A B B A _ _ B A B A ...B A B B A A

对于第三行中 _ _ B A B A ... B A 进行递归：

=>
A B B A A A A ...B B B _ _ B B A A
A _ _ A A A A ...B B B B B B B A A
A A A A A A A ...B B B B B B B _ _

  就行了。至于“如何得到这种归纳”，鄙人只能想到手玩一种方法。（

7.3 小结

  联系 4.3，我们的归纳过程本质上是将目标的分段化处理。正如万能的 DP 一样，抓住问题的“子结构”，将远在天边的目标拉向眼前。

8 走出构造题

8.1 「OurOJ 46602」糖

8.1.1 题目大意

  Private link.

题意概述

  数轴上依次有 $(n+1)$ 个关键点，第 $0$ 个点为原点，第 $i$ 个关键点的坐标是 $a_i$。你从 $0$ 出发，每走一单位吃掉一颗糖，每到达一个关键点，可以以 $b_i$ 的单价买糖，以 $s_i$ 的单价买糖，但最多携带 $C$ 颗糖。求到达 $n$ 号关键点时的最小花费（假设你初始的钱足够多）。$n\le2\times10^5$，保证有解且答案有限。

8.1.2 解题过程

  ——处处皆构造。

  我不禁陷入沉思（？）……为什么一定要在构造题里构造？

  Motivation: 算是经验之谈，我想找到这个买卖情景的等价转化。

  正所谓凭空买，凭空卖，等价操作赚大钱（？）我们构造以下两个操作组合：

• 买入再以相同价格退掉 \(\Leftrightarrow\) 不买，所以每到一个关键点可以补满背包。

• 买入，篡改价格，退掉 \(\Leftrightarrow\) 低买高卖，所以我们只需要处理“买”和“退”两种操作。

  这个时候贪心变得自然：背包里留下买得贵的糖。走到 \(i\) 时，维护当前背包内剩余的糖果集合 \(S\)，并保持价格单调性。将背包内所有价格 \(<s_i\) 的糖果价格篡改为 \(s_i\)（卖）；将背包内所有价格 \(>b_i\) 的糖果价格改为 \(b_i\)（重新买），并用当前 \(b_i\) 补满背包；最后吃掉下一步需要的糖果（挑便宜的吃咯）。

8.2 「OurOJ 28793」硬币游戏

8.2.1 题目大意

  Private link.

题意概述

  你有 $n$ 组硬币，第 $i$ 组由上到下的价值依次是 $a_i,b_i,a_i$，只有取走上面的硬币才能取下面的。对于 $k=1,2,\dots,3n$，求总共取走恰好 $k$ 个硬币时的最大价值和。$n\le10^6$

8.2.2 解题过程

  ——一招解限制。

  Motivation: 这个先后关系好难啊。

  构造，硬币组 \((a,b,a)\) 等价于体积为 \(1\) 的硬币 \(a\) 和体积为 \(2\) 的硬币 \((a+b)\)。等价性显然。

  接下来问题变得常规。两类体积的物品内显然选价值最大的；从选 \(k\) 体积的最优方案转移到选 \(k+1\) 体积的最优方案存在，且至多退掉一个体积为 \(1\) 的硬币。简单模拟即可。

8.3 小结

  构造是一种思想。

  正如你不会觉得四处乱窜的倍增算法很突兀，构造是可以无处不在的。有时候遇到题目的种种限制，不妨尝试构造，从等价题意轻松破题。

9 何为构造题

  大家辛苦啦！讲题到此结束啦！我也写不动啦！

  十八道花式构造下来，再思考“何为构造题”这个问题，来一个最后的交流总结吧。

9.1 构造出何物

  我们构造出了什么？

  是解吗？我认为那是结果，而非本质。

  就我的观点，我们构造迈出的第一步，是构造限制。

  我们构造出强于题目要求的限制，“自我约束”，让双端队列成了栈，让构造扫雷图成了合法性检查，让构造目标解成了构造子问题……既然“高自由度”是难点，“降低自由度”，就是我们做构造题最原始的 motivation。

  很有趣吧，别的题里额外限制通向部分分，构造题里额外限制通向正解。

9.2 动机从何来

  我不知道。就像 OneInDark 今天爆切 CF 3100 的构造后感慨，这个 motivation 太微弱了。动机这玩意儿多少和缘分挂钩。（

  就多见题，多练题，也许吧。这种思维训练就想神经网络的 BP 一样。做一题，你有各种 motivations，在这题没用的，留一点“不好用”的感觉；在这题有用的，留一点“好用”的感觉；看题解才想到的，留一点“能用”的感觉。等训练次数够了，你试错的时间和精力消耗就少了，解题能力自然就高了。

  其实我在一道道做本文的例题时，或多或少（基本上很多）地进行了规模不小的思路试错，看完题解再简单的构造题也能让人自闭。总而言之，不要怕构造题的毒打，多练，同时提炼总结每个细小的 motivation，不断积累，不断变强叭！顺便，本文也有一些没有涉及的版块，比如用欧拉路等图上模型将构造转化为图论算法问题，有空再补充（咕。

10 参考资料 & 致谢

• 「Q & A」不可食用的问答贴 by Tiw.

• IOI2021 集训队论文 - 信息学竞赛中构造题的常用解题方法 by jiangly.

• Tiw_Air_OAO 的博客中的构造专题 by Tiw.

• 感谢 Tiw 回答我在问答帖中的问题，我看见 Tiw 翻了包括 jiangly 论文在内的很多资料，真的好细心 www。

• 再次感谢 Tiw 向我推荐了那么多构造神题，本兔最喜欢她了 w（？

• 感谢 OneInDark 提供的长期精神支持。

  为什么致谢？一个次要原因是算上文档末尾的保留空行后，markdown 源码恰好 \(712\) 行 awa！