Live2D

Solution -「Gym 102798E」So Many Possibilities...

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  给定非负整数序列 \(\{a_n\}\)\(m\),每次随机在 \(\{a\}\) 中取一个非零的 \(a_i\)(保证存在),令其 \(-1\),重复 \(m\) 次,求最终 \(\{a\}\)\(0\) 的期望个数。

  \(n\le15\)\(m\le100\)

\(\mathcal{Solution}\)

  既然有 DP of DP,我觉得这种题就叫 DP and DP。(

  看到 \(n\le15\),想要状压,但无论如何都不能完整记录 \(\{a\}\) 的状态,也就不可能及时知道某个 \(a\) 会否变成 \(0\),怎么办呢?

  既然不知道,我们索性不去动它们——设前 \(i\) 次操作后,\(\{a\}\) 中为 \(0\) 的下标集合为 \(S\), 我们只落实对 \(S\) 中元素造成影响的操作,共 \(\sum_{i\in S}a_i\) 次;而对于剩下 \(\left(i-\sum_{i\in S}a_i\right)\) 次,只记录为“它们会影响某个不在 \(T\) 中元素”,其中 \(T\) 是进行这个操作时的 \(0\) 值集合;“某个”是具体的,但尚未确定的一个,所以提供概率 \(\frac{1}{n-|T|}\)。另一方面,只有在扩充 \(S\) 时来确定若干“某个”,此时就只需要组合选取,而不需要乘概率了。那么摆出式子,令 \(f(i,S)\) 表示 \(i\) 次操作后,\(0\) 值集合为 \(S\) 的概率(概率计算方式如前文),则:

\[f(i,S)=\frac{1}{n-|S|}f(i-1,S)+\frac{1}{n-|S|+1}\sum_{j\in S}\binom{i-1-\sum_{k\in S,k\not= j}a_k}{a_j-1}f(i-1,S\setminus\{j\}). \]

  思考此时得到的,应该用于计算答案的 \(f(m,S)\) 意味什么:落在 \(S\) 内的操作,它们是正常的,而其余的 \(\left(m-\sum_{i\in S}a_i\right)\) 次,它们一定落在 \(U\setminus S\)\(U\) 为全集)中,遗漏的仅仅是方案数!所以在 \(f\) 的目标状态为基础,再来一个 DP:令 \(g(i,S)\) 表示有 \(i\) 次操作落在 \(S\),且 \(S\)不存在 \(0\) 值的方案数,简单地,任取一个 \(x\in S\),得到转移:

\[g(i,S)=\sum_{j=0}^{\min\{i,a_{x}-1\}}\binom{i}{j}g(i-j,S\setminus\{x\}). \]

最终答案则为:

\[\sum_{S\subseteq U}f(m,S)\cdot g(m-\sum_{i\in S}a_i,U\setminus S)\cdot|S|. \]

  复杂度为 \(\mathcal O(m(n+m)2^n)\)

\(\mathcal{Code}\)

/*~Rainybunny~*/

#include <cstdio>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )

inline int imin( const int a, const int b ) { return a < b ? a : b; }

typedef long double LD;
#define double LD

const int MAXN = 15, MAXM = 100;
int n, m, a[MAXN + 5], sum[1 << MAXN], bitc[1 << MAXN], bitw[1 << MAXN];
double comb[MAXM + 5][MAXM + 5], f[2][1 << MAXN], g[MAXM + 5][1 << MAXN];

inline void init() {
    comb[0][0] = 1.;
    rep ( i, 1, m ) {
        comb[i][0] = 1.;
        rep ( j, 1, i ) comb[i][j] = comb[i - 1][j] + comb[i - 1][j - 1];
    }
}

inline void getF() {
    f[0][0] = 1.;
    rep ( i, 1, ( 1 << n ) - 1 ) bitc[i] = bitc[i ^ ( i & -i )] + 1;
    for ( int i = 1, sta = 1; i <= m; ++i, sta ^= 1 ) {
        rep ( S, 0, ( 1 << n ) - 1 ) {
            f[sta][S] = 0.;
            rep ( j, 0, n - 1 ) if ( S >> j & 1 ) {
                f[sta][S] += i < sum[S ^ 1 << j] + 1 ? 0 :
                  comb[i - sum[S ^ 1 << j] - 1][a[j] - 1] * f[!sta][S ^ 1 <<j];
            }
            f[sta][S] /= n - bitc[S] + 1;
            if ( n > bitc[S] ) f[sta][S] += f[!sta][S] / ( n - bitc[S] );
            // fprintf( stderr, "f(%d,%d)=%f\n", i, S, f[sta][S] );
        }
    }
}

inline void getG() {
    rep ( i, 2, ( 1 << n ) - 1 ) bitw[i] = bitw[i >> 1] + 1;
    rep ( S, 0, ( 1 << n ) - 1 ) g[0][S] = 1.;
    rep ( i, 1, m ) {
        rep ( S, 1, ( 1 << n ) - 1 ) {
            int v = bitw[S & -S]; double &cur = g[i][S];
            rep ( j, 0, imin( i, a[v] - 1 ) ) {
                cur += g[i - j][S ^ 1 << v] * comb[i][j];
            }
            // fprintf( stderr, "g(%d,%d)=%.0f\n", i, S, g[i][S] );
        }
    }
}

int main() {
    scanf( "%d %d", &n, &m ), init();
    rep ( i, 0, n - 1 ) scanf( "%d", &a[i] ), sum[1 << i] = a[i];
    rep ( S, 1, ( 1 << n ) - 1 ) sum[S] = sum[S & -S] + sum[S ^ ( S & -S )];

    getF(), getG();

    double ans = 0.;
    rep ( S, 0, ( 1 << n ) - 1 ) if ( m >= sum[S] ) {
        ans += f[m & 1][S] * g[m - sum[S]][repS ^ S] * bitc[S];
    }
    printf( "%.12Lf\n", ans );
    return 0;
}

posted @ 2021-08-19 21:46  Rainybunny  阅读(274)  评论(0编辑  收藏  举报