Solution -「Gym 102759F」Interval Graph

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  给定 \(n\) 个区间，第 \(i\) 个为 \([l_i,r_i]\)，有权值 \(w_i\)。设一无向图 \(G=(V=\{1,2,\dots,n\},E)\)，\((u,v)\in E\Leftrightarrow [l_u,r_u]\cap[l_v,r_v]\not=\varnothing\)，求删除若干区间使得 \(G\) 无环的被删除区间权值和的最小值。

  \(n\le2.5\times10^5\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  不要学了 DP 就只想 DP，优化不来麻烦推翻重来。

  首先 \(G\) 的合法条件等价于不存在三区间交于一点，这是一个经典费用流流模型，建图方法略。

  当然直接 Dinic 啥的直接挂掉，考虑到只需要增广两次，可以使用势能 Dijkstra + EK 算法求最小费用最大流。概括上来说，令 \(u\) 的势能 \(h_u\) 为累加的 \(d_u\) 之和，使得此时图上 \(w(u,v)+h_u-h_v\) 非负，就能跑 Dijkstra 了。本题只用增广两次，所以在初始 DAG 上求出 \(h\) 后甚至不必更新。

  具体讲解：OneInDark %%%.

\(\mathcal{Code}\)

/*~Rainybunny~*/

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <iostream>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )

typedef long long LL;
typedef std::pair<LL, int> PLI;
#define fi first
#define se second

template<typename Tp>
inline Tp tmin( const Tp& a, const Tp& b ) { return a < b ? a : b; }

const int MAXN = 2.5e5, MAXV = 5e5;
const LL LINF = 1ll << 60;
int n, ecnt = 1, mxp, head[MAXV + 5];
struct Edge { int to, flw; LL cst; int nxt; } graph[( MAXV + MAXN ) * 2 + 5];
LL hgt[MAXV + 5], dis[MAXV + 5];
int pre[MAXV + 5], flw[MAXV + 5];

inline void link( const int s, const int t, const int f, const LL c ) {
    graph[++ecnt] = { t, f, c, head[s] }, head[s] = ecnt;
    graph[++ecnt] = { s, 0, -c, head[t] }, head[t] = ecnt;
}

inline void getHeight() {
    hgt[0] = 0;
    rep ( u, 0, mxp - 1 ) {
        for ( int i = head[u]; i; i = graph[i].nxt ) if ( graph[i].flw ) {
            hgt[graph[i].to] = tmin( hgt[graph[i].to], hgt[u] + graph[i].cst );
        }
    }
}

inline bool dijkstra() {
    static bool vis[MAXV + 5];
    static std::priority_queue<PLI, std::vector<PLI>, std::greater<PLI> > heap;
    rep ( i, 0, mxp ) pre[i] = flw[i] = 0, dis[i] = LINF, vis[i] = false;

    heap.push( { dis[0] = 0, 0 } ), flw[0] = 2;
    while ( !heap.empty() ) {
        PLI p( heap.top() ); heap.pop();
        if ( vis[p.se] ) continue;
        vis[p.se] = true;
        
        for ( int i = head[p.se], v; i; i = graph[i].nxt ) {
            LL d = p.fi + graph[i].cst + hgt[p.se] - hgt[v = graph[i].to];
            if ( graph[i].flw && dis[v] > d ) {
                heap.push( { dis[v] = d, v } );
                pre[v] = i, flw[v] = tmin( flw[p.se], graph[i].flw );
            }
        }
    }
    return dis[mxp] != LINF;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio( false ), std::cin.tie( 0 );

    std::cin >> n;
    rep ( i, 1, n ) {
        int s, e; LL w; std::cin >> s >> e >> w, ++e;
        link( s, e, 1, -w ), mxp = mxp < e ? e : mxp;
    }
    rep ( i, 0, mxp - 1 ) link( i, i + 1, 2, 0 );

    getHeight();
    LL ans = 0;
    while ( dijkstra() ) {
        for ( int u = mxp; u; u = graph[pre[u] ^ 1].to ) {
            graph[pre[u]].flw -= flw[mxp], graph[pre[u] ^ 1].flw += flw[mxp];
        }
        ans += ( dis[mxp] + hgt[mxp] - hgt[0] ) * flw[mxp];
    }

    std::cout << -ans << '\n';
    return 0;
}