Involuting Bunny! (2021.8)

  CF1555F & Submission.

  Tags:「A.生成树」「B.Tricks」

  分类处理询问的 trick：连接两个连通块的边显然合法，先用这些边构建生成森林。发现每条边至多在一个环上，所以可以用 BIT 在 DFS 序上维护其余边是否可行。

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  CF1554E & Submission.

  Tag:「C.性质/结论」

  把操作转化成“对于边 $(u,v)$，令 $a_u$ 或 $a_v$ 加上 $1$”，有以下结论：

• 合法的序列数量为 $2^{n-1}$，归纳可证不重不漏；

• 当 $k>1$，至多只有一种方案使得所有 $k\mid a_u$，递归构造可证唯一性；

• 当 $k>1$，存在方案使得所有 $k\mid a_u$，则 $k\mid(n-1)$，显然。

  然后就随便做了。

  Attention: 先分析性质，再想算法。例如这道题走起来想 DP 就裂开了。

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  CF1550E & Submission.

  Tag:「A.DP-状压/插头 DP」「A.分治-二分答案」「B.Tricks」

  二分答案 $l$，枚举每种字符第一个长度超过 $l$ 的位置的顺序关系，每次放置一定是尽量考前放，所以可以利用预处理判断，将这一过程状压即可。

  Attention: 很讨厌这种字符串填充的题……不要一味地追求“扫一遍出解”！

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  CF1550F & Submission.

  Tags:「A.并查集」「A.生成树」「B.Tricks」

  所以学了下 Boruvka 求 MST 的算法，类似于朱刘算法，维护连通块，每次求每个连通块连出的最小边，尝试加入这些边合并连通块。一共只有 $\mathcal O(\log n)$ 次加边，故复杂度为 $\mathcal O(m\log n)$。这个算法的优势在于：如果 $m$ 很大，但我们存在一种直接求出连通块连出最小边的方法，就可能回避复杂度中的 $m$。

  回到本题，在 $i,j$ 间连从 $a_i$ 跳到 $a_j$ 所需的最小 $k$，求出 MST 就能预处理所有答案。使用 Boruvka 及上述优化 trick，利用 std::set 在 $\mathcal O(\log n)$ 的时间内找最小边，可以做到 $\mathcal O(n\log^2n)$。

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  CF1553G & Submission.

  Tags:「A.并查集」「C.性质/结论」

  考虑奇偶性，答案显然在 $\{0,1,2\}$，故只需判断答案能否为 $0,1$。对于 $0$，并查集直接维护连通块。对于 $1$，考虑每个 $a_i+1$ 带来的连通块之间的连边，暴力 $\mathcal O(\log^2 A)$ 记录信息，若两个连通块间有边答案就是 $1$。

  Attention: “素因子个数平方”是很小的，不要定式思维觉得“暴力”过不了。

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  CF1543E & Submission.

  Tags:「C.构造」「C.性质/结论」「C.思维」

  震撼兔子一整年.jpg 首先分析一个 Simple 图的性质：$(u,v)\in E\Leftrightarrow |u\oplus v|=1$，所以钦定某个点为 $0$，其邻接点为 $2^{0..n-1}$，然后 BFS 构造，每个结点的编号为与它邻接的上层结点的或和。易证。

  此后，第二问，仅需对 Simple 图求解。由于颜色总数为 $2^n$，每种颜色出现次数相等，所以有解的必要条件为 $n\mid 2^n$（$n$ 是 $2$ 的整幂）。接下来给出人类智慧构造：

$$c_u=\sum_{i=0}^{n-1} [i\in u]2^i.$$

正确性易证，但能构造出来这玩意儿就离谱 qwq。

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  CF1542E2 & Submission.

  Tag:「A.DP-计数 DP」

  这题评分和上题一样就离谱……令 $f(i,j)$ 表示长度为 $i$ 的排列对 $(p,q)$ 中 $p$ 的逆序对数减 $q$ 的逆序对数之差为 $j$ 的方案数，利用二次前缀和优化转移。求答案枚举 $p,q$ 的 LCP 和第一个不同位置的差值即可。

  Attention: 注意检查模意义下的四则运算函数，这个写错就没救了。

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  CF1540C2 & Submission.

  Tags:「A.DP-计数 DP」「C.性质/结论」

  一次操作起作用的条件是 $a_{i+1}-a_i<b_i$，记最终序列为 $f$，那么有 $\sum f=\sum a$。考虑最前一段被操作影响的区间，有 $f_1+(f_1+b_1)+(f_1+b_1+b_2)+\cdots=a_1+a_2+\cdots+a_i$，进而 $f_1=\frac{S_a(i)-S^2_b(i)}{i}$（$S^2$ 即二次前缀和）。那么由于 $i$ 任取，我们要保证 $S_a(i)\ge ix+S^2_b(i-1)$，DP 一发。注意到有用的 $x$ 取值不多，仅 $\mathcal O(n)$ 中，所以可以预处理出所有答案。

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  CF1539E & Submission.

  Tags:「A.DP-杂项」「C.细节」

  定义状态 $f(i,0/1)$ 表示 左手/右手 拿着第 $i$ 张卡，右手/左手 拿着第 $i+1$ 张卡时，能否通过 $i$ 及其以后的限制。转移枚举下一个换手的位置，显然这样的位置如果合法，必然越靠前越好。以 $f(i,0)$ 为例，为了转移它，仅需记录从 $f(j,1)$ 为 $1$ 的 $j$ 开始，左手牌的限制区间交集和是否每张右手牌都能通过紧接着的限制，虽然比较麻烦但不难想。（

  Attention: DP 时注意不要让新的信息覆盖掉需要使用的旧信息，写完回头捋一捋各个变量在当前的意义！

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  CF1536F & Submission.

  Tag:「C.性质/结论」

  打序列上游戏的 SG 表知环上后手必胜，而且后手操作只要合法都必胜。所以只需对双方共进行偶数次放置的结束状态计数。枚举放置数量，显然有

$$\textit{answer}=2\sum_{i=\lceil\frac{n}{2}\rceil}^{n}[2\mid i]\left[\binom{i}{n-i}+\binom{i-1}{n-i-1}\right]i!.$$

  Attention: 你总不能把 SG 表打错了吧 qwq！

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  CF1534F2 & Submission.

  Tags:「A.缩点/圆方树」「B.模型转化」「C.性质/结论」

  从 easy 版消除所有沙子为目标，可以把沙子的影响关系建图，每坨沙子向向上左右连至多一条边，缩点之后 $0$ 入度点的个数即为答案。对于 hard，合法条件等价于每列第 $a_i$ 坨沙子被消去，所以问题变成在 DAG 上选择若干点，使对于每个关键点，都至少有一个选择的点可以到达它。不难证明每坨沙子能覆盖的关键点是一个连续区间，所以可以拓扑出每个点的覆盖区间，此后转化为区间覆盖问题，随便贪心即可。

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  CF1530F & Submission.

  Tags:「A.DP-概率/期望 DP」「A.DP-状压/插头 DP」「A.数学-容斥计数」

  容斥列和对角线的是否满足，行的概率可以直接算出来，结束了。（

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  CF1528D & Submission.

  Tags:「A.DP-最短路相关」「B.Tricks」「B.优化建图」

  解决“原地等待边旋转指向某个结点”很好办：新建 $\lang i,(i+1)\bmod n,1\rang$ 即可。然后你发现不管这个图上的边怎么扭，Dijkstra 这类最短路算法的贪心结构是一直保证的，所以写一发 $\mathcal O(n^2)$ 的 Dijkstra 就行。

  注意这个细节：也许图在变，但并不妨碍某些算法的正确性。

  Attention: 略过或者叉掉某个思路的时候麻烦严谨说服自己，好多次都是秒出正解（比这题难的那种）然后莫名其妙就不想了 qwq。

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  CF1527E & Submission.

  Tag:「A.DP-数据结构优化 DP」

  维护 $k$ 棵线段树，第 $i$ 棵的 $j$ 位置表示 $f(i,j)+$ 从该状态转移到当前位置的花费，细节不难。

  Attention: 虽然因为考虑到是 CF 所以才这样干，决策单调性什么的至少得打个表在下结论吧……如果在一个未证、甚至已证的结论下无法优化，不要一根筋，重启解决 $90\%$ 的问题。（

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  CF1523E & Submission.

  Tag:「A.数学-组合计数」

  求“超过 $i$ 盏灯亮”的概率之和，问题在于求“$n$ 个球里选 $m$ 个，两两之间至少隔 $k$ 个”，经典问题，先拿出用于分隔的 $k(m-1)$ 个，选完放回去，方案数为 $\binom{n-(m-1)k}{m}$。

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  CF1521E & Submission.

  Tags:「B.Tricks」「C.构造」「C.思维」

  一种重要的构造思想：给对象分类。例如奇偶分类、构造二分图……本题中，就可以按 此图（为了不占版面就不放图了 awa）所示把格子分为四类，发现蓝色格子是万能的，不可能与任何格子冲突，那么就把这类格子当做缓冲。具体地，依次填黄色和红色格子，发现填不了就丢蓝色格子。另一方面，可以根据必要条件算出答案下界，由构造方案知下界一定可行，这里不细讲。（其实直接二分答案放置也是可以的。）

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  CF1521D & Submission.

  Tag:「B.贪心」

  贪心地递归，把树拆成若干链，具体地，递归出 $u$ 子树时，需要知道 $u$ 能否继续向上连边，若能，链的底部是谁。

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  CF1278F & Submission.

  Tag:「A.数学-数学推导」

  好啊，模数敲错了！好啊，组合恒等式写错了！好啊，二项式定理合并错了！我想把自己炖了艹。

$$\begin{aligned} \textit{answer} &= m^{-n}\sum_{i=0}^n i^k\binom{n}{i}(m-1)^{n-i} \\ &= m^{-n}\sum_{j=0}^k S(k,j)j!\sum_{i=0}^n\binom{i}{j}\binom{n}{i}(m-1)^{n-i} \\ &= m^{-n}\sum_{j=0}^k S(k,j)n^{\underline{j}} \sum_{i=0}^n\binom{n-j}{n-i}m^{n-i} \\ &= \sum_{j=0}^kS(k,j)n^{\underline{j}}m^{-j}. \end{aligned}$$

（不得不写成 $S(n,m)$ 了，那个大括号怎么打出来 qwq……）

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  CF1559D2 & Submission.

  Tags:「C.构造」「C.思维」「C.性质/结论」窒息标签三连击 qwq

  分类思想，如果能和 $1$ 连就先连上。那么此时左森林的结点 $u$ 与与之对应的右森林的结点 $u'$ 有三种情况：(1) 都在 $1$ 连通块；(2) $u$ 在 $1$ 连通块；(3) $u'$ 在 $1$ 连通块。我们发现 (2) 情况的 $u$ 可以和 (3) 情况的任意一个 $v$ 连边，此时 $u,v,u',v'$ 都进入 $1$ 连通块。到无法操作时，必然有一片森林退化为树，所以答案达到了理论上界 $n-1-\max\{m_1,m_2\}$。

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  CF1556D & Submission.

  Tag:「C.构造」

  $a+b=(a \operatorname{or} b)+(a \operatorname{and} b)$，构造 $n$ 个方程解出 $\{a_n\}$。

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  CF1553E & Submission.

  Tag:「C.性质/结论」

  是不是外国友人的技能树点得和我相差很远啊，这种玩意儿怎么都比上面那道简单吧。

  令 $p_i$ 表示 $p=\{1,2,\dots,n\}$ 循环位移 $i$ 次的结果，设 $p_i$ 和询问排列 $q$ 的不相同位置有 $c$ 个。由于 $k$ 次交换最多涉及 $2k$ 个元素，所以 $p_i$ 合法的必要条件为 $n-c\le 2k$，发现 $c\ge n-2k\ge \frac{n}{3}$，且对于每个 $q_i$，有且仅有一个 $p_j$ 满足 $q_i=p_{j,i}$，所以暴力检查满足这一必要条件的 $p_i$ 即可。