Solution -「多校联训」Sample

$\mathcal{Description}$

  Link

  （稍作简化：）对于变量 $p_{1..n}$，满足 $p_i\in[0,1],~\sum p_i=1$ 时，求 $\max \sum_{i=1}^n(p_i-p_i^2)i$。

  数据组数 $T\le10^5$，$n\le10^6$。

$\mathcal{Solution}$

  Lagrange 乘子法的板题，可惜我不会。（

  先忽略 $p_i\in[0,1]$ 的限制，发现这是一个带约数的最优化问题：

$$\max~~~~f=\sum_{i=1}^n(p_i-p_i^2)i,\\ \operatorname{s.t.}~~~~g=\sum_{i=1}^np_i-1=0.$$

考虑在无约束时，$\forall i,~\frac{\partial f}{\partial p_i}=0$ 时能取到 $f$ 的极值，本题由于偏导是一次式，仅有一个解，所以一定是最值。我们尝试将约束 $g=0$ 变成 $f$ 的一个维度，使得当 $f'$ 关于 $g$ 的偏导为 $0$ 时恰有 $g=0$，就能化归为无约束的情况了。具体地，构造

$$L=f+\lambda g$$

此时 $g$ 被作为引入变量 $\lambda$ 的系数，所以当 $\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$ 时，自然有 $g=0$。这就是 Lagrange 乘子法。

  回到本题，尝试直接解出 $\lambda$，先表示所有 $p$：

$$\frac{\partial L}{\partial p_i}=0=\lambda+2i-4ip_i\\ \Rightarrow p_i=\frac{\lambda+2i}{4i}.$$

代入约束 $g=0$ 中：

$$\sum_{i=1}^n\frac{\lambda+2i}{4i}-1=0\\ \Rightarrow \lambda=\frac{4-2n}{h_n}.$$

其中 $h_n$ 为调和级数前缀和。注意到直接代入 $\lambda$ 可能时一段 $p$ 的前缀 $<0$，所以只好二分钦定一个前缀为 $0$。假设钦定 $p_{1..t-1}=0$，类似地有

$$\lambda_t=\frac{4-2(n-t+1)}{h_n-h_{t-1}}.$$

代入 $f_t$ 后简单化简有

$$f_t=\frac{(n+t)(n-t+1)}{4}-\frac{\lambda^2}{8(h_n-h_{t-1})}.$$

就能直接计算了。单次复杂度是二分的 $\mathcal O(\log n)$。可以通过单调滑动 $t$ 值预处理做到 $\mathcal O(n)-\mathcal O(1)$。

$\mathcal{Code}$

/*~Rainybunny~*/

#include <cstdio>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )

const int MAXN = 1e6;
double h[MAXN + 5];

inline double calc( const int n, const int t ) {
    double c = n - t + 1, s = 0.5 * ( n + t ) * c,
      lam = ( 4 - 2 * c ) / ( h[n] - h[t - 1] );
    if ( ( lam + 2 * t ) / ( 4 * t ) < 0 ) return -1.;
    return 0.5 * s - 0.125 * lam * lam * ( h[n] - h[t - 1] );
}

int main() {
    freopen( "sample.in", "r", stdin );
    freopen( "sample.out", "w", stdout );

    rep ( i, 1, MAXN ) h[i] = h[i - 1] + 1. / i;

    int T, n; scanf( "%d", &T );
    while ( T-- ) {
        scanf( "%d", &n );
        
        int l = 1, r = n;
        while ( l < r ) {
            int mid = l + r >> 1;
            if ( calc( n, mid ) != -1. ) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        printf( "%.12f\n", calc( n, l ) );
    }
    return 0;
}