Solution -「AGC 036D」「AT 5147」Negative Cycle

$\mathcal{Descriprtion}$

  Link.

  在一个含 $n$ 个结点的有向图中，存在边 $\lang i,i+1,0\rang$，它们不能被删除；还有边 $\lang i,j,-1\rang~(i<j)$ 和 $\lang i,j,1\rang~(i>j)$，删除一条边的代价为 $a_{i,j}$。求使得图无负环的最小删边代价和。

  $n\le500$。

$\mathcal{Solution}$

  直接将原图看做一个差分约束模型，或说把 无负环 转化成 存在从 $1$ 到 $n$ 的最短路。设 $x_i$ 表示 $1$ 到 $i$ 的最短路，那么首先必然有 $x_i\ge x_{i+1}$，令 $d_i=x_{i+1}-x_i\ge0$，考虑一条可删除的 $\lang i,j\rang$ 被 $\{d_{n-1}\}$ 影响的情况：

• $\lang i,j,-1\rang$：$x_i\ge x_j+1$，说明当 $\sum_{k=i}^{j-1}d_k=0$ 时，此边需要删去；
• $\lang i,j,1\rang$：$x_i\ge x_j-1$，说明当 $\sum_{k=j}^{i-1}d_k\ge2$ 时，此边需要删去。

此外已证，$d_k\in\{0,1\}$ 必然能取到最优方案。所以令 $f(i,j)$ 表示最近一个是 $d_i=1$，前一个是 $d_j=1$ 时，使结点 $1\sim i+1$ 之间的边符合要求的最小删除代价和，预处理 $+1$ 和 $-1$ 边删除代价的二维前缀和，枚举前驱状态 $f(j,k)$，可做到 $\mathcal O(n^3)$ 转移。

$\mathcal{Code}$

/* Clearink */

#include <cstdio>
#include <cstring>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )

typedef long long LL;

template<typename Tp>
inline Tp imax( const Tp a, const Tp b ) { return a < b ? b : a; }
template<typename Tp>
inline void chkmin( Tp& a, const Tp b ) { b < a && ( a = b ); }

const int MAXN = 500;
const LL LINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n;
LL wp[MAXN + 5][MAXN + 5], wn[MAXN + 5][MAXN + 5];
LL f[MAXN + 5][MAXN + 5];

inline LL negS( int a, const int b, int p, const int q ) {
    a = imax( a, 1 ), p = imax( p, 1 );
    return a > p || b > q ? 0 :
      wn[p][q] - wn[p][b - 1] - wn[a - 1][q] + wn[a - 1][b - 1];
}
inline LL posS( int a, const int b, int p, const int q ) {
    a = imax( a, 1 ), p = imax( p, 1 );
    return a > p || b > q ? 0 :
      wp[p][q] - wp[p][b - 1] - wp[a - 1][q] + wp[a - 1][b - 1];
}

int main() {
    scanf( "%d", &n );
    rep ( i, 1, n ) rep ( j, 1, n ) {
        if ( i < j ) scanf( "%lld", &wn[i][j] );
        else if ( i > j ) scanf( "%lld", &wp[i][j] );
        wn[i][j] += wn[i - 1][j] + wn[i][j - 1] - wn[i - 1][j - 1];
        wp[i][j] += wp[i - 1][j] + wp[i][j - 1] - wp[i - 1][j - 1];
    }
    
    LL ans = negS( 1, 1, n, n );
    memset( f, 0x3f, sizeof f ), f[0][0] = 0;
    rep ( i, 1, n - 1 ) rep ( j, 0, i - 1 ) {
        rep ( k, 0, imax( j - 1, 0 ) ) {
            chkmin( f[i][j], f[j][k] + negS( j + 1, j + 1, i, i )
              + posS( j + 2, 1, i + 1, k )
              + posS( i + 1, k + 1, i + 1, j ) );
        }
        chkmin( ans, f[i][j] + negS( i + 1, i + 1, n, n )
          + posS( i + 2, 1, n, j ) );
    }

    printf( "%lld\n", ans );
    return 0;
}