Note -「群论」学习笔记

目录

• 前置知识
  • 群
  • 置换
• Burnside 引理与 Pólya 定理
  • 概念引入
    • 引例
  • 轨道-稳定子（Orbit-Stabilizer）定理
    • 证明
  • Burnside 引理
    • 证明
  • Pólya 定理
    • 证明
    • 应用例
• 完整的 Pólya 定理及扩展
  • 概念引入
  • Pólya × GF——完整的 Pólya 定理

前置知识

  关系、映射等基本的东西就略啦。

群

  对于集合 $S\not=\varnothing$ 与作用于 $S$ 的元素的二元运算 $\cdot$ 构成的代数结构 $(S,\cdot)$，若满足

• 封闭性：$\forall a,b\in S,~a\cdot b\in S$；
• 结合律：$\forall a,b,c\in S,~(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$；
• 存在单位元：$\exist e\in S,~\forall a\in S, a\cdot e=e\cdot a=a$；
• 存在逆元：$\forall a\in S,~\exist b\in S,~a\cdot b = b\cdot a=e$，此时 $a,b$ 互为逆元，称 $b=a^{-1},a=b^{-1}$。

则 $(S,\cdot)$ 为一个群。

  此外，若 $T\subseteq S,T\not=\varnothing$，且 $(T,\cdot)$ 是群，则称 $(T,\cdot)$ 为 $(S,\cdot)$ 的子群。

置换

  对于有限集 $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$，定义双射的函数 $f:A\rightarrow A$ 是 $A$ 的置换，一般性地记作

$$f=\begin{pmatrix} a_1&a_2&\cdots&a_n\\ a_{p_1}&a_{p_2}&\cdots&a_{p_n} \end{pmatrix},$$

此时则有 $f(a_i)=a_{p_i}$。显然 $p_{1..n}$ 构成了一个 $1\sim n$ 的排列。

  定义作用于置换的复合运算 $\cdot$（也可以被叫做乘法？），对于置换 $f=\begin{pmatrix} a_1&a_2&\cdots&a_n\\ a_{p_1}&a_{p_2}&\cdots&a_{p_n} \end{pmatrix}$ 与置换 $g=\begin{pmatrix} a_{p_1}&a_{p_2}&\cdots&a_{p_n}\\ a_{q_1}&a_{q_2}&\cdots&a_{q_n} \end{pmatrix}$，有

$$f\cdot g=\begin{pmatrix} a_1&a_2&\cdots&a_n\\ a_{q_1}&a_{q_2}&\cdots&a_{q_n} \end{pmatrix}.$$

即

$$(f\cdot g)(A)=g[f(A)].$$

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  接下来，为了引入置换群的概念，我们来研究复合运算的单位元、逆元与结合律。

  首先，置换的复合运算具有单位元，即恒等变换 $\iota$（iota, /aɪˈəʊtə/），例如 $A$ 上的恒等变换为

$$\iota=\begin{pmatrix} a_1&a_2&\cdots&a_n\\ a_1&a_2&\cdots&a_n \end{pmatrix}.$$

可见

$$f\cdot \iota=\iota\cdot f=f.$$

  另一个特殊元自然是逆元。对于置换 $f=\begin{pmatrix} a_1&a_2&\cdots&a_n\\ a_{p_1}&a_{p_2}&\cdots&a_{p_n} \end{pmatrix}$，构造其逆元 $f^{-1}=\begin{pmatrix}a_{p_1}&a_{p_2}&\cdots&a_{p_n}\\a_1&a_2&\cdots&a_n \end{pmatrix}$，那么有 $f\cdot f^{-1}=f^{-1}\cdot f=\iota$。

  复合运算具有结合律，即

$$(f\cdot g)\cdot h=f\cdot(g\cdot h).$$

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  最后，我们用 Pólya 定理中会涉及的循环置换的概念结束本节。

  循环置换，也即轮换，是一类特殊的置换，形象体现为

$$f=\begin{pmatrix} a_1&a_2&\cdots&a_{n-1}&a_n\\ a_2&a_3&\cdots&a_n&a_1 \end{pmatrix}$$

若两个轮换 $f_1:A_1\rightarrow A_1$ 和 $f_2:A_2\rightarrow A_2$ 满足 $A_1\cap A_2=\varnothing$，则 $f_1,f_2$ 不相交，考虑一个“乘积”运算，作用于 $f_1$ 和 $f_2$，得到 $f_1\circ f_2:(A_1\cup A_2)\rightarrow(A_1\cup A_2)$ 是一个置换。若把 $f_1,f_2$ 理解为关系集，亦能简洁地写作：

$$f_1\circ f_2=f_1\cup f_2$$

  （注：这里将置换、函数、映射、关系集等概念视为一体，或有失严谨性，但的确有助于从本质上理解乘法操作。）

  显然，任何一个置换都可以唯一分解为若干轮换的乘积。对于置换 $f$，我们定义其拆分得到的轮换数量为 $c(f)$。

Burnside 引理与 Pólya 定理

概念引入

  为让定理本身显得简洁明了，我们预先做一些陈述。

  对于有限集 $A,B$ 和作用于 $A$ 的所有置换构成的群（即置换群）$G$，设所有 $f:A\rightarrow B$ 构成映射集合 $X$，即 $X=B^A$。基于 $g\in G$ 对 $A$ 的作用，我们定义 $g$ 对一个映射 $f:A\rightarrow B$ 的作用。设 $f=\{\lang a,b\rang\mid a\in A,b\in B\}$，那么

$$g(f)=\{\lang g(a),b\rang\mid a\in A,b\in B\}.$$

在此基础上，定义等价类：若 $f_1,f_2\in X$，则 $f_1,f_2$ 属于同一等价类，当且仅当 $\exist g\in G,~f_1=g(f_2)$。同时，令 $G$ 作用在 $X$ 上产生的等价类集合为 $G/X$。

引例

稍作停顿，形象理解这些概念是重要而关键的一步。考虑对 $2\times 2$ 的方格染色，每个格子可以染蓝色或白色，如在下图中：

一起把上面的对象一一具体化：

• $A$，一个 $2\times 2$ 方格中的四个格子，它们是四个独立的元素。不妨从上到下，从左到右记作 $a_1,a_2,a_3,a_4$，则 $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$；
• $B$，颜色集合 $\{\text{W(white)},\text{B(blue)}\}$；
• $f:A\rightarrow B$，一种染色方案，例如 $f=\{\lang a_1,\text W\rang,\lang a_2,\text B\rang,\lang a_3,\text W\rang,\lang a_4,\text B\rang\}$ 就描述了 $13$ 号图的染色方案；
• $X$，所有染色构成的集合；
• $g(f)$，将已染好色的四个格子换换位置，得到的新的染色方案。例如 $g=\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3&a_4\\a_2&a_4&a_1&a_3\end{pmatrix}$（即顺时针旋转 $90^\circ$）作用在 $13$ 号图的染色方案上，得到 $g(f)=\{\lang a_2,\text W\rang,\lang a_4,\text B\rang,\lang a_1,\text W\rang,\lang a_3,\text B\rang\}$，对应到图上，$16$ 号！正是 $13$ 号图顺时针旋转 $90^\circ$ 的结果。
• 等价类，例如当 $G$ 仅包括“保持不变”和“左右对称”两种置换，则等价类有 $\{1\},\{2\},\{3,4\},\{5,6\},\{7,8\},\{9,10\},\{11,12\},\{13,15\},\{14\},\{16\}$（数字为图的编号）。

轨道-稳定子（Orbit-Stabilizer）定理

  为透彻地理解、证明并推广后续引理和定理，我们需要引入轨道和稳定子的概念，并证明轨道-稳定子定理。

  $G$ 和 $X$ 的定义同上，并定义

• $\forall x\in X$，$x$ 的稳定子为

  $$G^x=\{g\in G\mid g(x)=x\}.$$

• $\forall x\in X$，$x$ 的轨道为

  $$G(x)=\{g(x)\mid g\in G\}.$$

  轨道-稳定子定理：

$$|G|=|G^x||G(x)|.$$

证明

  如果你对本节并不感兴趣，可跳过本节。搞 OI 的证结论干吗。

  因为实在懒得写了，你得知道（至少说了解）：

• 群论中的 Lagrange 定理，推荐学习地址 link；
• 陪集的定义，度娘 link。

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  尝试向 Lagrange 定理靠拢。因为对于 $G$ 的子群 $H$，会有

$$|G|=|H|[G:H],$$

其中 $[G:H]$ 为 $H$ 在 $G$ 中的不同左陪集数量，即

$$[G:H]=|\{gH\mid g\in G\}|.$$

所以我们先证明 $G^x$ 是 $G$ 的子群。依次核对群的性质：

• 封闭性：$\forall f,g\in G^x,x\in X,~(f\cdot g)(x)=f(g(x))=f(x)=x$，故 $(f\cdot g)\in G^x$；
• 结合律：置换的复合自然有结合律咯；
• 单位元：$\iota(x)=x$，自然有 $\iota\in G^x$；
• 逆元：$\forall g\in G^x,~g^{-1}(x)=g^{-1}(g(x))=(g^{-1}\cdot g)(x)=\iota(x)=x$，故 $g^{-1}\in G^x$。

走到此，已有

$$|G|=|G^x|[G:G^x],$$

现只需证 $|G(x)|=[G:G^x]$。

  尝试构造出一个 $G(x)$ 与 $(G:G^x)$ 之间的双射 $\varphi$。这里直接给出答案，令关系 $\varphi$ 满足

$$\varphi=\{\lang g(x),gG^x\rang\mid g(x)\in G(x)\},$$

下证 $\varphi$ 的确是一个双射：

• 取 $f(x)=g(x)\in G^x$，左右 $\cdot f^{-1}$，得到 $\iota(x)=x=(f^{-1}\cdot g)(x)$，随之则是 $(f^{-1}\cdot g)G^x=G^x$，左右 $\cdot f$，得 $gG^x=fG^x$；
• 取 $fG^x=gG^x\in(G:G^x)$，同理可得 $g(x)=f(x)$。
• “既单又满”已体现，故 $\varphi$ 是双射，$|G(x)|=[G:G^x]$。

综上，轨道-稳定子定理成立。$\square$

Burnside 引理

  Burnside 引理：在上述定义中，有

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|,$$

其中

$$X^g=\{x\in X\mid g(x)=x\},$$

为 $X$ 中的映射在 $g$ 的作用下不改变的集合，称为 $g$ 关于 $X$ 的不动点集合。Burnside 引理则可用自然语言描述为：$G$ 作用与 $X$ 的等价类数量 等于 $G$ 中的置换关于 $X$ 的不动点集合大小的平均值。

证明

  我们方才只证了引理的引理 qwq。现在回到 Burnside 引理的证明。

$$\begin{aligned} \sum_{g\in G}|X^g|&=|\{(g\in G,x\in X)\mid g(x)=x\}|\\ &=\sum_{x\in X}|G^x|\\ &=\sum_{x\in X}\frac{|G|}{|G(x)|}~~~~\text{(Orbit-Stabilizer)}\\ &=|G|\sum_{Y\in X/G}\sum_{x\in Y}|G^x|^{-1}\\ &=|G|\sum_{Y\in X/G}\sum_{x\in Y}|Y|^{-1}\\ &=|G||X/G| \end{aligned}$$

移项即证。$\square$

Pólya 定理

  Pólya 定理：记号意义同 Burnside 引理部分，有

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|B|^{c(g)},$$

其中 $c(g)$ 表示 $g$ 拆分为不交的循环置换所得到的转置的数量。

证明

  本节证明并不依赖于上一节证明，且你完全可以驾驭本节。不然讲 Burnside 引理就没用了。

  对于 Burnside 引理，我们只需说明 $|B|^{c(g)}=|X^g|$。不妨记 $g=g_1\circ g_2\circ\cdots\circ g_k$，其中 $g_i~(i=1,2,\dots ,k)$ 为不交的循环转置。进一步，我们需要证明

$$\forall f\in X,~g(f)=f\Leftrightarrow (\forall i\in[1,k],~\forall u,v\in g_i,~f(u)=f(v)).$$

说人话：$f$ 是 $g$ 的不动点 等价于 对于 $g$ 所拆分为的每个循环置换，其中的元素由 $f$ 映射为同一值。

  那么正确性显而易见了：一个环，顺序转一格和原来一样，当且仅当环上每个元素都一样。$\square$

应用例

  稍作休整，我们上一道经典的手玩题。

对于 $2\times2$ 的方格图，用两种颜色为每个格子染色，求旋转同构意义下本质不同的方案数。还是上文的图：

  $G$ 的元素，即“旋转”，那么有四种：

• 恒等变换（不旋转）；
• 顺时针旋转 $90^\circ$；
• 顺时针旋转 $180^\circ$；
• 顺时针旋转 $270^\circ$。

逻辑上需要小心，我们必须穷举所有的置换，而不能有“转 $90^\circ$ 再转 $180^\circ$ 就是转 $270^\circ$ 之类的想法”。之后套用 Pólya 定理：

• 恒等变换：有 $4$ 个循环；
• 顺时针旋转：有 $1$ 个循环；
• 顺时针旋转：有 $2$ 个循环；
• 顺时针旋转：有 $1$ 个循环。

方案数：$\frac{2^4+2^1+2^2+2^1}{4}=6$，好耶！

完整的 Pólya 定理及扩展

概念引入

  有时，我们想求的并非“所有染色方案”，而是“某种颜色染多少个时的方案”。在计数过程中将状态分类，这是 GF，即生成函数擅长的操作。在理解简单的 Pólya 定理后，我们向其中引入生成函数来将其扩展。

  这里，我们先来定义循环指标。对于 $n$ 元置换 $g$ 的轮换分解，若有 $b_i$ 个大小为 $i$ 的轮换，则 $g$ 的循环指标为

$$Z_g(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\prod_{i=1}^nx_i^{b_i},$$

是一个 $n$ 元生成函数。紧接着，定义置换群 $G$ 的循环指标为

$$Z_G=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}Z_g,$$

即它所包含的所有置换的循环指标的平均值。

Pólya × GF——完整的 Pólya 定理

  在染色方案集 $X=B^A$ 的基础上，我们为每个颜色 $b\in B$ 规定一个权值 $\omega(b)\in [0,+\infty)\cap\mathbb N$，并把权值均为 $k$ 的颜色归为 $k$ 类颜色。令 $f(x)$ 是关于颜色类型，以类型数量为系数的生成函数，即

$$f(x)=\sum_{i\ge 0}f_ix^i,$$

其中 $f_k$ 即权值为 $k$ 的颜色数量。

  Pólya 定理：设 $F(x)$ 表示所有染色方案，关于颜色权和，以对应方案数为系数的生成函数，那么

$$F(x)=Z_G(f(x),f(x^2),\cdots,f(x^n)).$$

可以发现，令 $f(x)=|B|$，即所有颜色的全为 $0$，我们就得到了上文中简单形式的 Pólya 定理。自然，由简单的 Pólya 定理到这里生成函数形式的 Pólya 定理的推导过程也是平凡的，形象地考虑每个轮换的贡献即可，这里略过。

  Emmm...先到这里叭，以后再更（咕）。