Note -「群论」学习笔记

目录

• 前置知识
  • 群
  • 置换
• Burnside 引理与 Pólya 定理
  • 概念引入
    • 引例
  • 轨道-稳定子（Orbit-Stabilizer）定理
    • 证明
  • Burnside 引理
    • 证明
  • Pólya 定理
    • 证明
    • 应用例
• 完整的 Pólya 定理及扩展
  • 概念引入
  • Pólya × GF——完整的 Pólya 定理

前置知识

  关系、映射等基本的东西就略啦。

群

  对于集合 \(S\not=\varnothing\) 与作用于 \(S\) 的元素的二元运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((S,\cdot)\)，若满足

• 封闭性：\(\forall a,b\in S,~a\cdot b\in S\)；
• 结合律：\(\forall a,b,c\in S,~(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)；
• 存在单位元：\(\exist e\in S,~\forall a\in S, a\cdot e=e\cdot a=a\)；
• 存在逆元：\(\forall a\in S,~\exist b\in S,~a\cdot b = b\cdot a=e\)，此时 \(a,b\) 互为逆元，称 \(b=a^{-1},a=b^{-1}\)。

则 \((S,\cdot)\) 为一个群。

  此外，若 \(T\subseteq S,T\not=\varnothing\)，且 \((T,\cdot)\) 是群，则称 \((T,\cdot)\) 为 \((S,\cdot)\) 的子群。

置换

  对于有限集 \(A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)，定义双射的函数 \(f:A\rightarrow A\) 是 \(A\) 的置换，一般性地记作

\[f=\begin{pmatrix} a_1&a_2&\cdots&a_n\\ a_{p_1}&a_{p_2}&\cdots&a_{p_n} \end{pmatrix}, \]

此时则有 \(f(a_i)=a_{p_i}\)。显然 \(p_{1..n}\) 构成了一个 \(1\sim n\) 的排列。

  定义作用于置换的复合运算 \(\cdot\)（也可以被叫做乘法？），对于置换 \(f=\begin{pmatrix} a_1&a_2&\cdots&a_n\\ a_{p_1}&a_{p_2}&\cdots&a_{p_n} \end{pmatrix}\) 与置换 \(g=\begin{pmatrix} a_{p_1}&a_{p_2}&\cdots&a_{p_n}\\ a_{q_1}&a_{q_2}&\cdots&a_{q_n} \end{pmatrix}\)，有

\[f\cdot g=\begin{pmatrix} a_1&a_2&\cdots&a_n\\ a_{q_1}&a_{q_2}&\cdots&a_{q_n} \end{pmatrix}. \]

即

\[(f\cdot g)(A)=g[f(A)]. \]

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  接下来，为了引入置换群的概念，我们来研究复合运算的单位元、逆元与结合律。

  首先，置换的复合运算具有单位元，即恒等变换 \(\iota\)（iota, /aɪˈəʊtə/），例如 \(A\) 上的恒等变换为

\[\iota=\begin{pmatrix} a_1&a_2&\cdots&a_n\\ a_1&a_2&\cdots&a_n \end{pmatrix}. \]

可见

\[f\cdot \iota=\iota\cdot f=f. \]

  另一个特殊元自然是逆元。对于置换 \(f=\begin{pmatrix} a_1&a_2&\cdots&a_n\\ a_{p_1}&a_{p_2}&\cdots&a_{p_n} \end{pmatrix}\)，构造其逆元 \(f^{-1}=\begin{pmatrix}a_{p_1}&a_{p_2}&\cdots&a_{p_n}\\a_1&a_2&\cdots&a_n \end{pmatrix}\)，那么有 \(f\cdot f^{-1}=f^{-1}\cdot f=\iota\)。

  复合运算具有结合律，即

\[(f\cdot g)\cdot h=f\cdot(g\cdot h). \]

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  最后，我们用 Pólya 定理中会涉及的循环置换的概念结束本节。

  循环置换，也即轮换，是一类特殊的置换，形象体现为

\[f=\begin{pmatrix} a_1&a_2&\cdots&a_{n-1}&a_n\\ a_2&a_3&\cdots&a_n&a_1 \end{pmatrix} \]

若两个轮换 \(f_1:A_1\rightarrow A_1\) 和 \(f_2:A_2\rightarrow A_2\) 满足 \(A_1\cap A_2=\varnothing\)，则 \(f_1,f_2\) 不相交，考虑一个“乘积”运算，作用于 \(f_1\) 和 \(f_2\)，得到 \(f_1\circ f_2:(A_1\cup A_2)\rightarrow(A_1\cup A_2)\) 是一个置换。若把 \(f_1,f_2\) 理解为关系集，亦能简洁地写作：

\[f_1\circ f_2=f_1\cup f_2 \]

  （注：这里将置换、函数、映射、关系集等概念视为一体，或有失严谨性，但的确有助于从本质上理解乘法操作。）

  显然，任何一个置换都可以唯一分解为若干轮换的乘积。对于置换 \(f\)，我们定义其拆分得到的轮换数量为 \(c(f)\)。

Burnside 引理与 Pólya 定理

概念引入

  为让定理本身显得简洁明了，我们预先做一些陈述。

  对于有限集 \(A,B\) 和作用于 \(A\) 的所有置换构成的群（即置换群）\(G\)，设所有 \(f:A\rightarrow B\) 构成映射集合 \(X\)，即 \(X=B^A\)。基于 \(g\in G\) 对 \(A\) 的作用，我们定义 \(g\) 对一个映射 \(f:A\rightarrow B\) 的作用。设 \(f=\{\lang a,b\rang\mid a\in A,b\in B\}\)，那么

\[g(f)=\{\lang g(a),b\rang\mid a\in A,b\in B\}. \]

在此基础上，定义等价类：若 \(f_1,f_2\in X\)，则 \(f_1,f_2\) 属于同一等价类，当且仅当 \(\exist g\in G,~f_1=g(f_2)\)。同时，令 \(G\) 作用在 \(X\) 上产生的等价类集合为 \(G/X\)。

引例

稍作停顿，形象理解这些概念是重要而关键的一步。考虑对 \(2\times 2\) 的方格染色，每个格子可以染蓝色或白色，如在下图中：

一起把上面的对象一一具体化：

• \(A\)，一个 \(2\times 2\) 方格中的四个格子，它们是四个独立的元素。不妨从上到下，从左到右记作 \(a_1,a_2,a_3,a_4\)，则 \(A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\)；
• \(B\)，颜色集合 \(\{\text{W(white)},\text{B(blue)}\}\)；
• \(f:A\rightarrow B\)，一种染色方案，例如 \(f=\{\lang a_1,\text W\rang,\lang a_2,\text B\rang,\lang a_3,\text W\rang,\lang a_4,\text B\rang\}\) 就描述了 \(13\) 号图的染色方案；
• \(X\)，所有染色构成的集合；
• \(g(f)\)，将已染好色的四个格子换换位置，得到的新的染色方案。例如 \(g=\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3&a_4\\a_2&a_4&a_1&a_3\end{pmatrix}\)（即顺时针旋转 \(90^\circ\)）作用在 \(13\) 号图的染色方案上，得到 \(g(f)=\{\lang a_2,\text W\rang,\lang a_4,\text B\rang,\lang a_1,\text W\rang,\lang a_3,\text B\rang\}\)，对应到图上，\(16\) 号！正是 \(13\) 号图顺时针旋转 \(90^\circ\) 的结果。
• 等价类，例如当 \(G\) 仅包括“保持不变”和“左右对称”两种置换，则等价类有 \(\{1\},\{2\},\{3,4\},\{5,6\},\{7,8\},\{9,10\},\{11,12\},\{13,15\},\{14\},\{16\}\)（数字为图的编号）。

轨道-稳定子（Orbit-Stabilizer）定理

  为透彻地理解、证明并推广后续引理和定理，我们需要引入轨道和稳定子的概念，并证明轨道-稳定子定理。

  \(G\) 和 \(X\) 的定义同上，并定义

• \(\forall x\in X\)，\(x\) 的稳定子为

  \[G^x=\{g\in G\mid g(x)=x\}. \]

• \(\forall x\in X\)，\(x\) 的轨道为

  \[G(x)=\{g(x)\mid g\in G\}. \]

  轨道-稳定子定理：

\[|G|=|G^x||G(x)|. \]

证明

  如果你对本节并不感兴趣，可跳过本节。搞 OI 的证结论干吗。

  因为实在懒得写了，你得知道（至少说了解）：

• 群论中的 Lagrange 定理，推荐学习地址 link；
• 陪集的定义，度娘 link。

---

  尝试向 Lagrange 定理靠拢。因为对于 \(G\) 的子群 \(H\)，会有

\[|G|=|H|[G:H], \]

其中 \([G:H]\) 为 \(H\) 在 \(G\) 中的不同左陪集数量，即

\[[G:H]=|\{gH\mid g\in G\}|. \]

所以我们先证明 \(G^x\) 是 \(G\) 的子群。依次核对群的性质：

• 封闭性：\(\forall f,g\in G^x,x\in X,~(f\cdot g)(x)=f(g(x))=f(x)=x\)，故 \((f\cdot g)\in G^x\)；
• 结合律：置换的复合自然有结合律咯；
• 单位元：\(\iota(x)=x\)，自然有 \(\iota\in G^x\)；
• 逆元：\(\forall g\in G^x,~g^{-1}(x)=g^{-1}(g(x))=(g^{-1}\cdot g)(x)=\iota(x)=x\)，故 \(g^{-1}\in G^x\)。

走到此，已有

\[|G|=|G^x|[G:G^x], \]

现只需证 \(|G(x)|=[G:G^x]\)。

  尝试构造出一个 \(G(x)\) 与 \((G:G^x)\) 之间的双射 \(\varphi\)。这里直接给出答案，令关系 \(\varphi\) 满足

\[\varphi=\{\lang g(x),gG^x\rang\mid g(x)\in G(x)\}, \]

下证 \(\varphi\) 的确是一个双射：

• 取 \(f(x)=g(x)\in G^x\)，左右 \(\cdot f^{-1}\)，得到 \(\iota(x)=x=(f^{-1}\cdot g)(x)\)，随之则是 \((f^{-1}\cdot g)G^x=G^x\)，左右 \(\cdot f\)，得 \(gG^x=fG^x\)；
• 取 \(fG^x=gG^x\in(G:G^x)\)，同理可得 \(g(x)=f(x)\)。
• “既单又满”已体现，故 \(\varphi\) 是双射，\(|G(x)|=[G:G^x]\)。

综上，轨道-稳定子定理成立。\(\square\)

Burnside 引理

  Burnside 引理：在上述定义中，有

\[|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|, \]

其中

\[X^g=\{x\in X\mid g(x)=x\}, \]

为 \(X\) 中的映射在 \(g\) 的作用下不改变的集合，称为 \(g\) 关于 \(X\) 的不动点集合。Burnside 引理则可用自然语言描述为：\(G\) 作用与 \(X\) 的等价类数量 等于 \(G\) 中的置换关于 \(X\) 的不动点集合大小的平均值。

证明

  我们方才只证了引理的引理 qwq。现在回到 Burnside 引理的证明。

\[\begin{aligned} \sum_{g\in G}|X^g|&=|\{(g\in G,x\in X)\mid g(x)=x\}|\\ &=\sum_{x\in X}|G^x|\\ &=\sum_{x\in X}\frac{|G|}{|G(x)|}~~~~\text{(Orbit-Stabilizer)}\\ &=|G|\sum_{Y\in X/G}\sum_{x\in Y}|G^x|^{-1}\\ &=|G|\sum_{Y\in X/G}\sum_{x\in Y}|Y|^{-1}\\ &=|G||X/G| \end{aligned} \]

移项即证。\(\square\)

Pólya 定理

  Pólya 定理：记号意义同 Burnside 引理部分，有

\[|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|B|^{c(g)}, \]

其中 \(c(g)\) 表示 \(g\) 拆分为不交的循环置换所得到的转置的数量。

证明

  本节证明并不依赖于上一节证明，且你完全可以驾驭本节。不然讲 Burnside 引理就没用了。

  对于 Burnside 引理，我们只需说明 \(|B|^{c(g)}=|X^g|\)。不妨记 \(g=g_1\circ g_2\circ\cdots\circ g_k\)，其中 \(g_i~(i=1,2,\dots ,k)\) 为不交的循环转置。进一步，我们需要证明

\[\forall f\in X,~g(f)=f\Leftrightarrow (\forall i\in[1,k],~\forall u,v\in g_i,~f(u)=f(v)). \]

说人话：\(f\) 是 \(g\) 的不动点 等价于 对于 \(g\) 所拆分为的每个循环置换，其中的元素由 \(f\) 映射为同一值。

  那么正确性显而易见了：一个环，顺序转一格和原来一样，当且仅当环上每个元素都一样。\(\square\)

应用例

  稍作休整，我们上一道经典的手玩题。

对于 \(2\times2\) 的方格图，用两种颜色为每个格子染色，求旋转同构意义下本质不同的方案数。还是上文的图：

  \(G\) 的元素，即“旋转”，那么有四种：

• 恒等变换（不旋转）；
• 顺时针旋转 \(90^\circ\)；
• 顺时针旋转 \(180^\circ\)；
• 顺时针旋转 \(270^\circ\)。

逻辑上需要小心，我们必须穷举所有的置换，而不能有“转 \(90^\circ\) 再转 \(180^\circ\) 就是转 \(270^\circ\) 之类的想法”。之后套用 Pólya 定理：

• 恒等变换：有 \(4\) 个循环；
• 顺时针旋转：有 \(1\) 个循环；
• 顺时针旋转：有 \(2\) 个循环；
• 顺时针旋转：有 \(1\) 个循环。

方案数：\(\frac{2^4+2^1+2^2+2^1}{4}=6\)，好耶！

完整的 Pólya 定理及扩展

概念引入

  有时，我们想求的并非“所有染色方案”，而是“某种颜色染多少个时的方案”。在计数过程中将状态分类，这是 GF，即生成函数擅长的操作。在理解简单的 Pólya 定理后，我们向其中引入生成函数来将其扩展。

  这里，我们先来定义循环指标。对于 \(n\) 元置换 \(g\) 的轮换分解，若有 \(b_i\) 个大小为 \(i\) 的轮换，则 \(g\) 的循环指标为

\[Z_g(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\prod_{i=1}^nx_i^{b_i}, \]

是一个 \(n\) 元生成函数。紧接着，定义置换群 \(G\) 的循环指标为

\[Z_G=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}Z_g, \]

即它所包含的所有置换的循环指标的平均值。

Pólya × GF——完整的 Pólya 定理

  在染色方案集 \(X=B^A\) 的基础上，我们为每个颜色 \(b\in B\) 规定一个权值 \(\omega(b)\in [0,+\infty)\cap\mathbb N\)，并把权值均为 \(k\) 的颜色归为 \(k\) 类颜色。令 \(f(x)\) 是关于颜色类型，以类型数量为系数的生成函数，即

\[f(x)=\sum_{i\ge 0}f_ix^i, \]

其中 \(f_k\) 即权值为 \(k\) 的颜色数量。

  Pólya 定理：设 \(F(x)\) 表示所有染色方案，关于颜色权和，以对应方案数为系数的生成函数，那么

\[F(x)=Z_G(f(x),f(x^2),\cdots,f(x^n)). \]

可以发现，令 \(f(x)=|B|\)，即所有颜色的全为 \(0\)，我们就得到了上文中简单形式的 Pólya 定理。自然，由简单的 Pólya 定理到这里生成函数形式的 Pólya 定理的推导过程也是平凡的，形象地考虑每个轮换的贡献即可，这里略过。

  Emmm...先到这里叭，以后再更（咕）。