Solution -「ZJOI 2020」「洛谷 P6631」序列
\(\mathcal{Description}\)
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给定一个长为 \(n\) 的非负整数序列 \(\lang a_n\rang\),你可以进行如下操作:
- 取 \([l,r]\),将其中所有 \(a\) 值 \(-1\);
- 取 \([l,r]\),将其中奇数下标的 \(a\) 值 \(-1\);
- 取 \([l,r]\),将其中偶数下标的 \(a\) 值 \(-1\)。
求至少需要几次操作使得所有 \(a\) 值变为 \(0\)。
\(n\le10^5\),数据组数 \(T\le10\)。
\(\mathcal{Solution}\)
道路铺设永放光芒!
记集族 \(\mathcal I\) 包括所有一次操作可能涉及的下标集合,写出线规
\[\operatorname{minimize}~~~~z=\sum_{P\in \mathcal I}x_P\\
\operatorname{s.t.} \begin{cases}
\forall u,~\sum_{P\ni u}x_P\ge a_u\\
\forall u,~-\sum_{P\ni u}x_P\ge -a_u\\
\forall P,~x_P\ge 0
\end{cases}
\]
转对偶
\[\operatorname{maximize}~~~~z'=\sum_{u=1}^na_u(s_u-t_u)\\
\operatorname{s.t.}\begin{cases}
\forall P,~\sum_{u\in P}(s_u-t_i)\le1\\
\forall u,~s_u,t_u\ge0
\end{cases}
\]
令 \(d_u=s_u−t_u\),由第一个约束,显然有 \(d_u\le1\);而为最大化 \(\sum_{u=1}^na_ud_u\),可以得到 \(d_u\in\{-1,0,1\}\)。那么就能简单 DP:令 \(f(i,x,y,z)\) 表示考虑了 \(d_{1..i}\),一类/二类/三类操作涉及的操作集合中,最大后缀 \(d\) 之和为 \(x/y/z~(\in\{0,1\})\),枚举 \(d_u=1,2,3\) 分别转移即可。
复杂度 \(\mathcal O(Tn)\)(其实带一个 \(\ge \log n\) 的 \(24\) 倍常数 qwq)。
\(\mathcal{Code}\)
/*~Rainybunny~*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )
typedef long long LL;
inline int rint() {
int x = 0, f = 1, s = getchar();
for ( ; s < '0' || '9' < s; s = getchar() ) f = s == '-' ? -f : f;
for ( ; '0' <= s && s <= '9'; s = getchar() ) x = x * 10 + ( s ^ '0' );
return x * f;
}
template<typename Tp>
inline void wint( Tp x ) {
if ( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
if ( 9 < x ) wint( x / 10 );
putchar( x % 10 ^ '0' );
}
template<typename Tp>
inline void chkmax( Tp& a, const Tp& b ) { a < b && ( a = b, 0 ); }
inline int imax( const int a, const int b ) { return a < b ? b : a; }
const int MAXN = 1e5;
const LL LINF = 1ll << 60;
int n, a[MAXN + 5];
LL f[MAXN + 5][2][2][2];
int main() {
for ( int T = rint(); T--; ) {
n = rint();
rep ( i, 1, n ) a[i] = rint();
memset( f, 0xc0, sizeof f );
f[0][0][0][0] = 0;
rep ( i, 1, n ) rep ( w, -1, 1 ) {
rep ( x, 0, 1 ) rep ( y, 0, 1 ) rep ( z, 0, 1 ) {
if ( w + x <= 1 && w + ( i & 1 ? y : z ) <= 1 ) {
chkmax( f[i][imax( imax( w, w + x ), 0 )]
[i & 1 ? imax( imax( w, w + y ), 0 ) : y]
[i & 1 ? z : imax( imax( w, w + z ), 0 )],
f[i - 1][x][y][z] + w * a[i] );
}
}
}
LL ans = -LINF;
rep ( x, 0, 1 ) rep ( y, 0, 1 ) rep ( z, 0, 1 ) {
chkmax( ans, f[n][x][y][z] );
}
wint( ans ), putchar( '\n' );
}
return 0;
}