Solution -「NOI 2020」「洛谷 P6776」超现实树

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  对于非空二叉树 \(T\)，定义 \(\operatorname{grow}(T)\) 为所有能通过若干次“替换 \(T\) 的某个叶子为任意非空二叉树”的操作得到的二叉树集合；对于非空二叉树集合 \(\mathscr T\)，定义 \(\operatorname{grow}(\mathscr T)=\bigcup_{T\in{\mathscr T}}\operatorname{grow}(T)\)。多次询问，每次给定一个 \(\mathscr T\)，询问是否仅有有限个二叉树不在 \(\operatorname{grow}(\mathscr T)\) 中。二叉树判等时区分左右儿子，点无编号。

  设单棵树的结点数为 \(n\)，则 \(\sum n\le2\times10^6\)。

  这 tm 才叫简要题意。

\(\mathcal{Solution}\)

  谨以本题解表达去年做题的兔子对题面的赞美。

  \(\mathbf{X1}\)：我们先来研究一个几乎完备的 \(\operatorname{grow}(\mathscr T)\) 吧，在这样的 \(\mathscr T\) 中，会不会有些树不可起到使 \(\operatorname{grow}(\mathscr T)\) 完备的作用呢？

  \(\mathbf{X2}\)：嗯，每片叶子都可以生长出任何二叉树，那么，起到决定性作用的是否叶子们的深度？

  \(\mathbf{X1}\)：那就先控制深度信息！我发现书上也有在这个思路下衍生的定义。

  定义：二叉树集合 \(\mathscr B_n\) 为高度为 \(n\) 的全体二叉树集的基，定义为：

\[\mathscr B_n=\{T~|~h(T)=n\land(~\not\exist T',~h(T')=n\land T\in\operatorname{grow}(T'))\} \]

  \(\mathbf{X2}\)：简而言之，这个 \(\mathscr B_n\) 包含了所有高度为 \(n\) 且不能被其他高度为 \(n\) 的树“生长”出来。很显然，\(\operatorname{grow}(\mathscr B_n)\) 包含了所有高度为 \(n\) 的二叉树！

  \(\mathbf{X1}\)：继续深入的话……说不定 \(\mathscr B_n\) 里的 \(T\) 也有特殊性质呢。

  \(\mathbf{X2}\)：（手玩片刻）呀！这样的 \(T\) 看上去都很“瘦小”，具体地，如果结点 \(u\) 同时拥有左右儿子，那么必然有至少一个儿子是叶子。嗯！这是能够证明的结论。

  证明：记 \(p(T)\) 为真时，\(T\) 满足上述性质，否则则不满足。设 \(h(T)=n\)，我们希望证明

\[p(T)\Leftrightarrow T\in\mathscr B_n \]

  对于 \(p(T)\Rightarrow T\in\mathscr B_n\)，取出 \(T\) 中一定存在的自根而下长为 \(n\) 的树链 \(L\)，这样的链是单独的一条或者在末尾分叉的两条。我们可以断言，若有 \(h(T')=n,T\in\operatorname{grow}(T')\)，则 \(T'\) 必然满足 \(L\sube T'\)。而对于其余叶子，由于它们的父亲都在 \(T'\) 的点集中且不是叶子，所以它们也必然在 \(T'\) 的点集中。最终，发现 \(T=T'\)，故命题成立。

  另一边，\(p(T)\Leftarrow T\in\mathscr B_n\)，仍使用反证法。对于不满足条件的 \(T\)，取出一个左右儿子存在且均不是叶子的结点 \(u\)，它必然有一个儿子 \(v\) 满足删去 \(v\) 子树后 \(h(T)=n\)。则可将 \(v\) 子树“逆向生长”为单点 \(v\)，此时得到的 \(T'\) 满足 \(h(T)=n\) 且 \(T\in\operatorname{grow}(T')\)，所以 \(T\not\in\mathscr B_n\)，假设矛盾，原命题成立。

  综上，命题得证。

  \(\mathbf{X1}\)：离成功更近一步！把这个强大的结论用于题目本身，是不是说，如果 \(T\in\mathscr T\) 不满足上述条件，就能从 \(\mathscr T\) 中剔除 \(T\) 而不改变 \(\operatorname{grow}(\mathscr T)\) 的完备性？……没错！如果 \(T\) 是这样一棵树，且不存在 \(T'\in\mathscr T\setminus\{T\}\) 使得 \(T\in\operatorname{grow}(T')\)，如果存在某棵树只能由 \(T\) 生长出来，我们一定能找到这棵树中一个左右儿子均存在且不是叶子的结点 \(u\)，将它的一个儿子替换为单点。那么，这棵树的 \(\operatorname{grow}\) 集合与 \(\operatorname{grow}(\mathscr T)\) 交集为空！

  \(\mathbf{X2}\)：接下来就只需要直面问题，尝试判断 \(\operatorname{grow}(\mathscr T)\) 是否几乎完备。我们从一棵“希望与 \(\operatorname{grow}(\mathscr T)\) 匹配的树”的视角出发，设当前结点为 \(u\)，如果 \(u\) 子树能够匹配上：

0. 需要 \(T\in\mathscr T\)，\(T\) 在此位置上的结点是叶子，这强于以下所有条件。
1. \(u\) 只有左儿子，需要一个只有左儿子的 \(T\)；
2. \(u\) 只有右儿子，需要一个只有右儿子的 \(T\)；
3. \(u\) 左儿子是叶子，需要同样情况的 \(T\)；
4. \(u\) 右儿子是叶子，需要同样情况的 \(T\)；
5. \(u\) 左右儿子都是叶子，3. 4. 任意。

我们定义 \(\operatorname{syno}(\mathscr T)\) 是一棵四叉树，它是对 \(\mathscr T\) 的等价概括。我们可以每个 \(T\) 合并入其中，依照 1. 2. 3. 4. 四种情况划分儿子编号。最后，定义 \(f(\operatorname{syno}(\mathscr T),u)\) 该四叉树中 \(u\) 子树的完备性，有

\[f(\operatorname{syno}(\mathscr T),u)=\begin{cases} \text{False}&u\text{ is not in }\operatorname{syno}(\mathscr T)\\ \text{True}&u\text{ meets condition 0.}\\ \bigwedge_{i=0}^3f(\operatorname{syno}(\mathscr T),\operatorname{son}(u,i))&\text{otherwise} \end{cases} \]

最终，\(f(\operatorname{syno}(\mathscr T),\operatorname{root})\) 即为答案。复杂度 \(\mathcal O(\sum|T|)\)！

  \(\mathbf{X1}\)：不过我发现一个问题欸，为什么题目描述比题解还长呢？

\(\mathcal{Code}\)

/* Clearink */

#include <cstdio>
#include <cassert>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )

inline char fgc() {
	static char buf[1 << 17], *p = buf, *q = buf;
	return p == q && ( q = buf + fread( p = buf, 1, 1 << 17, stdin ), p == q )
		? EOF : *p++;
}

inline int rint() {
	int x = 0; char s = fgc();
	for ( ; s < '0' || '9' < s; s = fgc() );
	for ( ; '0' <= s && s <= '9'; s = fgc() ) x = x * 10 + ( s ^ '0' );
	return x;
}

const int MAXN = 2e6;
int m;

struct BinaryTree {
	int node, ch[MAXN + 5][2];
	
	inline void clear() {
		rep ( i, 1, node ) ch[i][0] = ch[i][1] = 0;
		node = 0;
	}
	
	inline void read() {
		clear(), node = rint();
		rep ( i, 1, node ) ch[i][0] = rint(), ch[i][1] = rint();
	}
	
	inline int type( const int u ) const {
		/*
			-1: illegal node (not a basic tree).
			0: left only.
			1: right only.
			2: left chain and right leaf.
			3: right chain and left leaf.
			4: 2&3.
		*/
		int lc = ch[u][0], rc = ch[u][1];
		assert( lc || rc );
		if ( !rc ) return 0;
		if ( !lc ) return 1;
		bool lf = !ch[lc][0] && !ch[lc][1], rf = !ch[rc][0] && !ch[rc][1];
		if ( lf && rf ) return 4;
		if ( rf ) return 2;
		if ( lf ) return 3;
		return -1;
	}
	
	inline bool check( const int u ) {
		if ( !u || ( !ch[u][0] && !ch[u][1] ) ) return true;
		return ~type( u ) && check( ch[u][0] ) && check( ch[u][1] );
	}
} binT;

struct SynopsisTree {
	int node, ch[MAXN + 5][4];
	bool tag[MAXN + 5];
	
	inline void clear() {
		rep ( i, 1, node ) {
			ch[i][0] = ch[i][1] = ch[i][2] = ch[i][3] = 0,
			tag[i] = false;
		}
		node = 1;
	}
	
	inline void storage( const BinaryTree& T, int& u, const int v ) {
		if ( !v ) return ;
		if ( !u ) u = ++node;
		if ( tag[u] ) return ;
		if ( !T.ch[v][0] && !T.ch[v][1] ) return void( tag[u] = true );
		int f = T.type( v );
		if ( !f ) storage( T, ch[u][0], T.ch[v][0] );
		else if ( f == 1 ) storage( T, ch[u][1], T.ch[v][1] );
		else {
			if ( f == 2 || f == 4 ) storage( T, ch[u][2], T.ch[v][0] );
			if ( f == 3 || f == 4 ) storage( T, ch[u][3], T.ch[v][1] );
		}
	}
	
	inline bool complete( const int u ) {
		if ( !u || tag[u] ) return !!u;
		return complete( ch[u][0] ) && complete( ch[u][1] )
			&& complete( ch[u][2] ) && complete( ch[u][3] );
	}
} synT;

int main() {
	for ( int T = rint(), root = 1; T--; ) {
		synT.clear(), m = rint();
		rep ( i, 1, m ) {
			binT.read();
			if ( binT.check( 1 ) ) synT.storage( binT, root, 1 );
		}
		puts( synT.complete( 1 ) ? "Almost Complete" : "No" );
	}
	return 0;
}