Note - Powerful Number

Powerful Number

  对于 $n\in\mathbb N_+$，若不存在素数 $p$ 使得 $p\mid n~\land~p^2\not\mid n$，则称 $n$ 为 Powerful Number。即，$n$ 的每个素因子至少以二次的形式存在。不难发现，任何一个 Powerful Number $n$ 都可以写成 $a^2b^3~(a,b\in\mathbb N_+)$ 的形式（但不唯一）。接下来，我们研究其在正整数前缀序列中出现次数的规模，有

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n[i\text{ is a P.N.}]&\le\sum_{i=1}^n\left(\frac{n}{i^2}\right)^{\frac{1}{3}}\\ &=n^{\frac{1}{3}}\sum_{i=1}^ni^{-\frac{2}{3}}\\ &\le n^{\frac{1}{3}}\int_1^nx^{-\frac{2}{3}}\text dx\\ &=n^{\frac{1}{3}}\left.\left(3x^{\frac{1}{3}}\right)\right|_1^{n^{\frac{1}{2}}}\\ &=\mathcal O(n^\frac{1}{2}) \end{aligned}$$

所以 $n$ 以内的 Powerful Number 的数量是 $\mathcal O(\sqrt n)$ 级别，因此引出了基于 Powerful Number 数量的神奇筛法。

Powerful Number 筛法

  给出任意的积性函数 $f$，求

$$\sum_{i=1}^nf(i)$$

  若按照正常杜教筛的方法，我们很可能无法找到一个 $g$ 使得 $f\star g$ 的前缀和易于计算。我们转而引入一个在素数处“拟合” $f$ 的积性函数 $g$，即有

$$\forall p\in\mathbb P,~g(p)=f(p)$$

同时保证 $g$ 的前缀和易于计算。接着构造出类似杜教筛的卷积形式，令

$$h=f\star g^{-1}$$

那么

$$\sum_{i=1}^nf(i)=\sum_{i=1}^nh(i)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor} g(j)$$

  有何特别之处呢？考虑任意素数 $p$：

$$f(p)=g(p)+h(p)=g(p)~~~~\Rightarrow~~~~h(p)=0$$

而 $g$，$f=g\star h$ 均为积性函数，所以 $h$ 为积性函数，况且 $h(p)$ 恒为 $0$，所以使得 $h(a)\not=0$ 的 $a$ 为 Powerful Number！我们只需要预处理出 $\mathcal O(\sqrt n)$ 个 $g$ 的前缀和，再大力搜索不为 $0$ 的 $h(a)$，就能算出上式的结果啦！

例题

「LOJ #6053」简单的函数

  Link.

  积性函数 $f$ 满足 $f(p^c)=p\oplus c~(p\in\mathbb P,c\in\mathbb N_+)$，求 $\sum_{i=1}^n f(i)\bmod(10^9+7)$。

  $n\le10^{10}$。

---

  首先，考虑 $f$ 的素数点值：

$$f(p)=\begin{cases} 3,&p=2\\ p-1,&\text{otherwise} \end{cases}$$

由 $p-1$ 联想到 $\varphi(p)=p-1$，可惜 $\varphi(2)=1$。干脆一点，我们直接强行把 $\varphi$ 的偶数点值乘上 $3$，令

$$g(n)=\begin{cases} \varphi(n),&2\not\mid n\\ 3\varphi(n),&\text{otherwise} \end{cases}$$

显然它也是积性函数。

  接着，求 $g$ 的前缀和。其前缀和为 $\varphi$ 的前缀和加上两倍偶数点的 $\varphi$ 前缀和。记

$$\begin{aligned} S(n)&=\sum_{i=1}^n\varphi(2i)\\ &=\sum_{i=1}^n[2\not\mid i]\varphi(i)+2\sum_{i=1}^n[2\mid i]\varphi(i)\\ &=S\left(\frac{n}{2}\right)+\sum_{i=1}^n\varphi(i) \end{aligned}$$

杜教筛处理 $\varphi$ 的前缀，$S$ 就能在可观（我不会算 qwq）的复杂度内预处理出来，继而也得到了 $g$ 的 $\mathcal O(\sqrt n)$ 个前缀和。

  此外，我们还需要求 $h(i)$，即求 $h(p^c)~(c>1)$。考虑 $f(p^c)$ 与它的关系：

$$f(p^c)=\sum_{i=0}^ch(p^i)g(p^{c-i})\\ \Rightarrow~~~~h(p^c)=f(p^c)-\sum_{i=0}^{c-1}h(p^i)g(p^{c-i})$$

顺手把 $\mathcal O(\sqrt n\ln\ln\sqrt n)$（$n$ 以内素数的倒数和的规模是 $\mathcal O(\ln\ln n)$）个 $h(p^c)$ 也预处理出来，最后 $\mathcal O(\sqrt n)$ 搜索 Powerful Number 就能求出答案啦！

  代码可见我的博客。

「洛谷 P5325」Min_25 筛

  Link.

  对于积性函数 $f(x)$，有 $f(p^k)=p^k(p^k-1)~(p\in\mathbb P,k\in\mathbb N_+)$。求 $\sum_{i=1}^nf(i)\bmod(10^9+7)$。

  $n\le10^{10}$。

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  Min_25 筛是不可能的。

  Powerful Number 三步走咯！考虑素数点值：

$$f(p)=p^2-p$$

那么令 $g=\operatorname{id}\cdot\varphi$（点乘号即数值相乘），就有 $g(p)=p^2-p$。积性函数的点乘亦为积性函数。

  求 $g$ 的前缀和，杜教筛基础操作，卷上一个 $\operatorname{id}$：

$$\begin{aligned} \lbrack(\operatorname{id}\cdot\varphi)\star\operatorname{id}\rbrack(n)&=\sum_{i\mid n}(\operatorname{id}\cdot\varphi)(i)\cdot\frac{n}{i}\\ &=\sum_{i\mid n}n\varphi(i)\\ &=n^2 \end{aligned}$$

自然数平方和易求，丢到杜教筛的式子里，推导后得出

$$S(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\sum_{i=2}^niS\left(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\right)$$

其中 $S(n)$ 即为 $\sum_{i=1}^ng(i)$。

  求 $h(p^k)$，可以用 Bell 级数推导。令 $F_p,G_p,H_p$ 分别为 $f,g,h$ 在某一素数 $p$ 的 Bell 级数，则

$$\begin{cases} F_p=\operatorname{OGF}\langle1,p(p-1),p^2(p^2-1),\cdots\rangle=\frac{1}{1-p^2z}-\frac{1}{1-pz}+1\\ G_p=\operatorname{OGF}\langle1,p(p-1),p^3(p-1),\cdots\rangle=\frac{1-pz}{1-p^2z} \end{cases}$$

应用“两函数 Bell 级数的乘法卷积”为“原函数 Dirichlet 卷积之 Bell 级数”的性质，得到

$$\begin{aligned} H_p&=\frac{F_p}{G_p}\\ &=\frac{\frac{1}{1-p^2z}-\frac{1}{1-pz}+1}{\frac{1-pz}{1-p^2z}}\\ &=\frac{1-\frac{1-p^2z}{1-pz}+1-p^2z}{1-pz}\\ &=\frac{1}{1-pz}-\frac{1-p^2z}{(1-pz)^2}+\frac{1-p^2z}{1-pz}\\ \end{aligned}$$

我们仅仅想求 $h(p^k)$，即 $[z^k]H_p$，那么

$$\begin{aligned} \lbrack z^k\rbrack H_p&=[z^k]\frac{1}{1-pz}-[z^k]\frac{1-p^2z}{(1-pz)^2}-[z^k]\frac{1-p^2z}{1-pz}\\ &=p^k-[(k+1)p^k-kp^{k+1}]+(p^k-p^{k+1})\\ &=(k-1)(p^{k+1}-p^k) \end{aligned}$$

  最终，$\mathcal O(n^{\frac{2}{3}})$ 就能求出答案啦。

  代码可见我的博客。

总结

• Powerful Number 指每个素因子至少是二次的正整数；
• $[1,n]$ 内的 Powerful Number 个数为 $\mathcal O(\sqrt n)$；
• Powerful Number 筛法的步骤为：
  1. 对于 $f$，找到素数点值与其相同的，方便求前缀和的函数 $g$；
  2. 预处理/在线求 $g$ 的 $\mathcal O(\sqrt n)$ 个前缀和；
  3. 预处理/在线求 $(f\star g^{-1})(p^k)$，可以暴力计算或尝试 Bell 级数；
  4. 爆搜 Powerful Number 统计答案。
• 此筛法是否优秀大部分取决于第三步，即能否快速计算 $(f\star g^{-1})(p^k)$。