Note - 多项式乱写

  基础篇戳这里。

  大概是记录 @Tiw 的伟大智慧叭。

  嗷，附赠一个 全家桶题。

目录

• Newton 迭代法
• 多项式乱算
  • 多项式求逆
  • 多项式 $\ln$
  • 多项式 $\exp$
  • 多项式开根
  • 多项式带余除法
  • 多项式快速幂
  • 多项式三角函数
• 常系数齐次线性递推

Newton 迭代法

  解多项式方程

$$f(u,x)\equiv0\pmod{x^n}$$

  其中 $u$ 是一个多项式。

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  用倍增的思想。设

$$u_n\equiv0\pmod{x^n}$$

  现要求 $u_{2n}$。显然 $u_{2n}$ 亦有 $u_{2n}\equiv0\pmod{x^n}$，所以对于 $k\in[2,+\infty)\cap\mathbb N$，有 $(u_{2n}-u_n)^k\equiv0\pmod{x^{2n}}$。考虑在$\bmod x^{2n}$ 意义下把 $f(u_{2n},x)$ Tayler 展开，有

$$f(u_{2n},x)=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{f_{u}^{(i)}(u_n)}{i!}(u_{2n}-u_n)^i\equiv0\pmod{x^{2n}}$$

  根据上文结论，得到：

$$f(u_{2n},x)=f(u_n,x)+f_u'(u_n,x)\cdot(u_{2n}-u_n)\equiv0\pmod{x^{2n}}$$

  最终有

$$u_{2n}=u_n-\frac{f(u_n,x)}{f_u(u_n,x)}\pmod{x^{2n}}$$

  附赠例题（密码 ltytxdy）。

多项式乱算

  该 来 的 还 是 来 了！

多项式求逆

  给定多项式 $v$，求满足 $uv\equiv1\pmod{x^n}$ 的 $u$。

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  迭代思想。

$$\begin{cases}u_nv\equiv1\pmod{x^n}\\u_{2n}v\equiv1\pmod{x^{2n}}\end{cases}\\\Rightarrow~~~~(u_{2n}-u_n)^2\equiv0\pmod{x^{2n}}\\\Rightarrow~~~~u_{2n}^2-2u_{2n}u_n+u_n^2\equiv0\pmod{x^{2n}}\\\Rightarrow~~~~u_{2n}-2u_n+u_n^2v\equiv0\pmod{x^{2n}}\\\Rightarrow~~~~u_{2n}\equiv u_n(2-u_nv)\pmod{x^{2n}}$$

  $\mathcal O(n\log n)$ 计算即可。

多项式 $\ln$

  给定多项式 $v$，保证 $v_0=1$，求 $u\equiv\ln v\pmod{x^n}$。

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  直接（？）法：

$$\begin{aligned}u&=\int v'\ln'v~\text dx\\&=\int\frac{v'}{v}\text dx\end{aligned}$$

  对多项式求导和积分都是 $\mathcal O(n)$ 的，所以求个逆就 $\mathcal O(n\log n)$ 算出来啦。

多项式 $\exp$

  给定多项式 $v$，保证 $v_0=0$，求 $u\equiv\exp v\pmod{x^n}$。

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  方便求导的家伙直接丢到牛迭里去。（

  解方程 $f(u,x)=\ln(u)-v\equiv0\pmod{x^n}$，牛迭式：

$$u_{2n}\equiv u_n-\frac{\ln(u_n)-v}{\frac{1}{u_n}}=u_n(1-\ln(u_n)+v)\pmod{x^{2n}}$$

  单次求 $\ln$ 和卷积，还是 $\mathcal O(n\log n)$。

多项式开根

  给定多项式 $v$，求 $u\equiv v^{\frac{1}2}\pmod{x^n}$。

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  牛迭，解 $f(u,x)=u^2-v\equiv0\pmod{x^n}$，有：

$$u_{2n}=u_n-\frac{u_n^2-v}{2u_n}=\frac{u_n^2+v}{2u_n}\pmod{x^{2n}}$$

  单次卷积和求逆，复杂度 $\mathcal O(n\log n)$。

多项式带余除法

  给定多项式 $u,v$，求 $u\equiv vp+r\pmod{x^n}$，且 $\deg r<\deg v$。（$\deg u$ 表示 $u$ 的最高次。）

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  考虑一个灵性的变换，对于任意多项式 $u$，令其“翻转”多项式为 $u_r$，有：

$$u_r=x^{\deg u}u(x^{-1})$$

  显然翻转操作对于加法和卷积都是可分配的。

  把翻转作用于原式两边，得到：

$$u_r\equiv v_rp_r+x^{\deg u-\deg v+1}r_r\pmod{x^n}$$

  又由于 $\deg p_r=\deg u-\deg v$，所以把模数换成 $x^{\deg u-\deg v+1}$，后一项直接模掉，求出来的还是 $p_r$，即：

$$p_r\equiv\frac{u^r}{v^r}\pmod{x^{\deg u-\deg v+1}}$$

  求出 $p_r$，瞎算算就求到 $p$ 和 $r$ 了，复杂度还是 $\mathcal O(n\log n)$。

多项式快速幂

  给定多项式 $v$ 和整数 $k$，求 $u=v^k\pmod{x^n}$。

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  假设我们能够对 $v$ 求 $\ln$，则左右同时 $\ln$ 再 $\exp$ 得到：

$$u=\exp(k\ln v)$$

  $\mathcal O(n\log n)$ 搞定。

  可惜有时候求不得，需要把 $v_0$ 调整成 $1$。位移+系数提公因数即可。

多项式三角函数

  给定多项式 $v$，求 $u=\sin v$（或 $\cos v$ 等）。

  Euler 公式：

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

  考虑对称性，也有：

$$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$$

  把多项式 $v$ 代入，求出 $e^{iv}$ 和 $e^{-iv}$，就能直接解出 $\sin v$ 和 $\cos v$。

  虚数单位 $i$ 即 $\omega_4^1$，用原根替代单位根即可。复杂度 $\mathcal O(n\log n)$。

常系数齐次线性递推

  Link.

  求一个满足 $m$ 阶齐次线性递推数列 $\{a\}$ 的第 $n$ 项，即求

$$a_n=\sum_{i=1}^mf_ia_{n-i}$$

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  不用多项式取模的做法。

  根据条件式子得到：

$$A(x)=F(x)A(x)+P(x)$$

  $P(x)$ 某个多项式，用于修补低次项。

  变形：

$$\begin{aligned}A(x)&=F(x)A(x)+P(x)\\\Rightarrow~~~~A(x)&=\frac{P(x)}{Q(x)}~~~~\text{let } Q(x)=1-F(x)\\\Rightarrow~~~~A(x)&=\frac{P(x)Q(-x)}{Q(x)Q(-x)}\end{aligned}$$

  对于任意奇数 $k$，考虑 $Q(x)Q(-x)$ 的 $k$ 次项：

$$[x^k]Q(x)Q(-x)=\sum_{i=0}^k(-1)^iq_iq_{k-i}$$

  由于 $2\not|k$，故 $(-1)^iq_iq_{k-i}+(-1)^{k-i}q_{k-i}q_i=0$，原式为 $0$，即 $Q(x)Q(-x)$ 仅含偶次项。不妨令 $R(x^2)=Q(x)Q(-x)$，代入变形：

$$\begin{aligned}A(x)&=\frac{P(x)Q(-x)}{R(x^2)}\\\Rightarrow A(x)&=\frac{E(x^2)}{R(x^2)}+x\frac{O(x^2)}{R(x^2)}~~~~\text{let }\begin{cases}E(x)=\sum_i [x^{2i}]P(x)Q(-x)\cdot x^i\\O(x)=\sum_i [x^{2i+1}]P(x)Q(-x)\cdot x^i\end{cases}\end{aligned}$$

  我们要求的只是 $[x^n]A(x)$ 而非整个 $A(x)$，所以只需要根据 $n$ 的奇偶性递归到其中一边求解。复杂度仍然是 $\mathcal O(m\log m\log n)$，不过常数会小很多。

  此算法基础上的更多卡常技巧请见 EI 的博客。