Solution -「ARC 110F」Esoswap

$\mathcal{Description}$

  Link.

  给定 $0\sim n-1$ 的排列 $p_{0..n-1}$，每次操作给出 $i$，交换 $p_i$ 和 $p_{(i+p_i)\bmod n}$。构造一种使排列升序的操作序列。

  $n\le100$。

$\mathcal{Solution}$

  反正兔子就一个样例观察法，一个暴力伪解拍上去就 AC 了。（

  先讲讲我的伪解，观察样例解释：

• First, announce $i=6$. We swap $P_6(=5)$ and $P_{(6+5)\bmod8}=P_3(=6)$, turning $P$ into $7,1,2,5,4,0,6,3$.

• Then, announce $i=0$. We swap $P_0(=7)$ and $P_{(0+7)\bmod8}=P_7(=3)$, turning $P$ into $3,1,2,5,4,0,6,7$.

• Then, announce $i=3$. We swap $P_3(=5)$ and $P_{(3+5)\bmod8}=P_0(=3)$, turning $P$ into $5,1,2,3,4,0,6,7$.

• Finally, announce $i=0$. We swap $P_0(=5)$ and $P_{(0+5)\bmod8}=P_5(=0)$, turning $P$ into $0,1,2,3,4,5,6,7$.

  

  发现三次 $p_i=5$，一次 $p_i=7$。考虑到样例的迷惑性，我们尝试让对 $p_i=5$ 的操作挨在一起。交换第一步和第二步，发现操作序列仍合法。

  接下来，我们强行解释该操作序列的内在逻辑：

• 希望 $p_7=7$，反复操作 $p_i=7$ 直到 $p_7=7$；
• 希望 $p_7=7\land p_6=6$，反复操作 $p_i=6$（样例中不需要操作），直到不满足 $p_7=7$ 回到第一步，或满足 $p_6=6$；
• 希望 $p_5=5\land p_6=6\land p_7=7$，操作同上。
• ……

  综上，交换策略为

选择不满足 $p_i=i$ 的最大的 $p_i$ 进行交换直到序列升序。

  然后就 AC 了，复杂度不知道。（

---

  正解是先操作使得 $p=\{n-1,n-2,\cdots,0\}$ 然后逆序。操作方法考察从后往前的每个 $i$，不断操作 $i$ 直至 $p_i=n-i-1$，可证至多操作 $\mathcal O(n)$ 次，总复杂度 $\mathcal O(n^2)$。

$\mathcal{Code}$

  伪解：

/* Clearink */
 
#include <cstdio>
#include <vector>
 
#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rpbound##i = r; i <= rpbound##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, rpbound##i = l; i >= rpbound##i; --i )
 
const int MAXN = 100;
int n, p[MAXN + 5];
std::vector<int> ans;
 
inline void iswp ( int& a, int& b ) { a ^= b ^= a ^= b; }
 
int main () {
	scanf ( "%d", &n );
	rep ( i, 0, n - 1 ) scanf ( "%d", &p[i] );
	while ( true ) {
		int irr = -1;
		rep ( i, 0, n - 1 ) if ( i ^ p[i] && ( !~irr || p[i] > p[irr] ) ) irr = i;
		if ( !~irr ) break;
		ans.push_back ( irr );
		iswp ( p[irr], p[( irr + p[irr] ) % n] );
	}
	printf ( "%d\n", ( int ) ans.size () );
	for ( int i: ans ) printf ( "%d\n", i );
	return 0;
}

  正解：

/* Clearink */

#include <cstdio>
#include <vector>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rpbound##i = r; i <= rpbound##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, rpbound##i = l; i >= rpbound##i; --i )

const int MAXN = 100;
int n, p[MAXN + 5];
std::vector<int> ans;

inline void iswp ( int& a, int& b ) { a ^= b ^= a ^= b; }
inline void oper ( const int i ) {
	ans.push_back ( i ), iswp ( p[i], p[( i + p[i] ) % n] );
}

int main () {
	scanf ( "%d", &n );
	rep ( i, 0, n - 1 ) scanf ( "%d", &p[i] );
	per ( i, n - 1, 1 ) for ( ; p[i] != n - i - 1; oper ( i ) );
	per ( i, n - 2, 0 ) {
		rep ( j, i + 1, n - 2 ) oper ( j );
		oper ( i ), oper ( i );
	}
	printf ( "%d\n", ( int ) ans.size () );
	for ( int i: ans ) printf ( "%d\n", i );
	return 0;
}