Solution -「ARC 110D」Binomial Coefficient is Fun

$\mathcal{Description}$

  Link.

  给定非负整数序列 $\{a_n\}$，设 $\{b_n\}$ 是一个非负整数序列且 $\sum_{i=1}^nb_i\le m$，求

$$\sum_{\{b_n\}}\prod_{i=1}^n\binom{b_i}{a_i}\bmod(10^9+7)$$

  $n,a_i\le2\times10^3$。

$\mathcal{Solution}$

  鉴于这是 ARC D，可以直观感受到是一个代码不长的组合意义题。（

  考虑一个 $\prod_{i=1}^n\binom{b_i}{a_i}$ 的意义：

有 $m$ 个球排成一行，将其分成 $n+1$ 段，第 $i~(i\le n)$ 段长度 $b_i$，再从这些段内选 $a_i$ 个球。

  那么对其求和，意义即为：

有 $m$ 个球排成一行，将其任意分成 $n+1$ 段，再从前 $n$ 段内每段选 $a_i$ 个球。

  把“分段”当成球，所以：

有 $m+n$ 个球排成一行，先选 $a_1$ 个球，再选 $1$ 个球，接着选 $a_2$ 个球，再选 $1$ 个球……

  进一步：

有 $m+n$ 个球排成一行，选 $n+\sum_{i=1}^na_i$ 个球。

  故答案为 $\binom{n+m}{n+\sum_{i=1}^na_i}$。复杂度 $\mathcal O(\sum_{i=1}^na_i)$。

$\mathcal{Code}$

/* Clearink */

#include <cstdio>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rpbound##i = r; i <= rpbound##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, rpbound##i = l; i >= rpbound##i; --i )

const int MOD = 1e9 + 7, MAXN = 2e3;
int n, m, fac[MAXN + 5], inv[MAXN * MAXN + 5];

inline int mul ( const long long a, const int b ) { return a * b % MOD; }

inline void init ( const int n ) {
	inv[1] = 1;
	rep ( i, 2, n ) inv[i] = mul ( inv[MOD % i], MOD - MOD / i );
}

inline int comb ( const int n, const int m ) {
	if ( n < m ) return 0;
	int ret = 1;
	for ( int i = 1; i <= m; ++i ) ret = mul ( ret, mul ( n - i + 1, inv[i] ) );
	return ret;
}

int main () {
	scanf ( "%d %d", &n, &m );
	int s = 0;
	for ( int i = 1, a; i <= n; ++i ) {
		scanf ( "%d", &a );
		s += a;
	}
	init ( s + n );
	printf ( "%d\n", comb ( n + m, s + n ) );
	return 0;
}