Solution -「ARC 104F」Visibility Sequence
\(\mathcal{Description}\)
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给定 \(\{x_n\}\)，对于满足 \(h_i\in[1,x_i]\) 的序列 \(\{h_n\}\)，定义序列 \(\{p_n\}\) 满足：
求所有可能出现的本质不同的 \(\{p_n\}\)，对 \(10^9+7\) 取模。
\(n\le100\)。
\(\mathcal{Solution}\)
\(\{p_n\}\) 是一个下标对应关系，所以可以尝试着把关系化成图。正如 PKU 面试的那位老师所说：“图表示关系”。
但 \(-1\) 明显很丑，令 \(a_0=+\infty\)，那么对于 \(\{+\infty,3,1,2,5,4\}\)，\(\{p\}\) 长成：
多画几个目测一下，得到：
- 图是一棵以 \(0\) 为根的外向树（废话。
- 以 \(u\) 为根，大小为 \(s\) 的子树对应原序列的区间 \([u,u+s)\)。还可以用 DFN 描述：存在一种对于所有 \(i\)，\(\operatorname{dfn}(i)=i\) 的 DFS 顺序。
简证结论二：归纳证明，考虑 DFS 到 \(u\) 点后，是否一定存在一种方案，下一步 DFS 到 \(u+1\)：
- 若 \(h_u>h_{u+1}\)，有直接连边，满足。
- 若 \(h_u\le h_{u+1}\)，则显然不存在 \(w>u+1\)，使得 \(\langle u,w\rangle\in E\)。所以 DFS 返回过程中，除非满足上一条件走向 \(u+1\)，否则不可能走向其他 \(>u\) 的结点。证毕。
从计数的角度考虑，\(\{p\}\) 相等则代表这颗树的树形完全一样。所以可以对于每种树形，构造一个最可能存在的 \(\{h_n\}\)（所有值尽量小），只对这种 \(\{h_n\}\) 计数，就能实现不重不漏。归纳构造：
- 对于叶子 \(u\)，显然 \(h_u=1\) 最合适。
- 对于非叶 \(u\)，应满足 \(h_u\ge\max_{v\in son_u}\{h_v\}+1\)；其次若再 \(u\) 的左侧有同父亲的兄弟 \(w\)，则还要满足 \(h_u\ge h_w\)，可以结合上图理解。所以直接钦定 \(h_u=\max\{h_w,\max_{v\in son_u}\{h_v\}+1\}\)。根据此构造方式，\(h_u\) 变小不会导致子树外 \(h\) 变大，所以这种构造能得到最可能存在的 \(\{h_n\}\)。注意上式也有一个重要的性质，\(\operatorname{arg}\max_{v\in son_u}\{h_v\}\) 为 \(u\) 最右侧的儿子。
举个例子，对于上图，构造出的 \(\{h_n\}\) 为 \(\{3,2,1,1,2,1\}\)。
走到现在都是凭感觉。
由结论二，令 DP 状态 \(f(l,r,k)\) 表示区间 \([l,r]\) 构成一棵以 \(l\) 为根且 \(h_l=k\) 的树的方案数；同时令 \(g(l,r,k)\) 为其第三维前缀和，即区间 \([l,r]\) 构成一棵以 \(l\) 为根且 \(h_l\le k\) 的树的方案数。
转移，首先枚举位置 \(p\) 把区间分为 \([l,p)\) 和 \([p,r]\)，由于最右侧儿子最大，\(h_l=h_p+1\)。分 \(h_p\) 原来与 \([l,p)\) 中 \(h_l\) 的大小关系，有：
前一项表示 \([p,r]\) 本身的 \(h_p\) 就为 \(k-1\)；后一项则表示 \([p,r]\) 的 \(h_p\) 本身很小，但因为在左侧多了兄弟而被迫取到 \(k-1\)（所以要保证 \(x_p\ge k-1\)，有能力取到 \(k-1\)）；\(f(l,p-1,k)f(p,r,k-1)\) 可能算重所以最后一项是 \(g(p,r,k-2)\)。
最终，复杂度 \(\mathcal O(n^4)\)。（所以原题 \(x_i\le10^5\) 拿来干嘛 qwq……
\(\mathcal{Code}\)
/* Clearink */
#include <cstdio>
const int MAXN = 100, MAXX = 1e5, MOD = 1e9 + 7;
int n, a[MAXN + 5];
int f[MAXN + 5][MAXN + 5][MAXN + 5], g[MAXN + 5][MAXN + 5][MAXN + 5];
inline int mul ( long long a, const int b ) { return a * b % MOD; }
inline int& addeq ( int& a, const int b ) { return ( a += b ) < MOD ? a : a -= MOD; }
int main () {
scanf ( "%d", &n ), a[1] = ++ n;
for ( int i = 2; i <= n; ++ i ) scanf ( "%d", &a[i] );
for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
f[i][i][1] = 1;
for ( int k = 1; k <= n; ++ k ) g[i][i][k] = 1;
}
for ( int len = 2; len <= n; ++ len ) {
for ( int l = 1, r; ( r = l + len - 1 ) <= n; ++ l ) {
for ( int x = 2; x <= n && x <= a[l]; ++ x ) {
int& cur = f[l][r][x];
for ( int p = l + 1; p <= r; ++ p ) {
addeq ( cur, mul ( g[l][p - 1][x], f[p][r][x - 1] ) );
if ( a[p] >= x - 1 ) {
addeq ( cur, mul ( f[l][p - 1][x], g[p][r][x - 2] ) );
}
}
}
for ( int x = 1; x <= n; ++ x ) {
addeq ( g[l][r][x] = g[l][r][x - 1], f[l][r][x] );
}
}
}
printf ( "%d\n", g[1][n][n] );
return 0;
}
\(\mathcal{Details}\)
随手画画图好习惯嗷！
