Solution -「ARC 104E」Random LIS

$\mathcal{Description}$

  Link.

  给定整数序列 $\{a_n\}$，对于整数序列 $\{b_n\}$，$b_i$ 在 $[1,a_i]$ 中等概率随机。求 $\{b_n\}$ 中 LIS（最长上升子序列）的期望长度。对 $10^9+7$ 取模。

  $n\le6$，$a_i\le10^9$。

$\mathcal{Solution}$

  欺负这个 $n$ 小得可爱，直接 $\mathcal O(n!)$ 枚举 $(b_i,i)$ 的二维偏序关系，记排列 $\{p_n\}$，$p_i$ 表示第 $i$ 小的二元组是 $(b_{p_i},p_i)$。于是乎，$\{b_n\}$ 就会满足：

$$b_{p_1}\le b_{p_2}\le \cdots \le b_{p_n}$$

  但其中有些地方是不能取等的。可以发现若 $p_i<p_{i+1}$，则必须取 $b_{p_i}<b_{p_{i+1}}$。考虑把所有如此的小于全部变成小于等于：将所有 $j>i$ 的 $b_{p_j}\leftarrow b_{p_j}-1$ 即可。

  为方便进一步思考，把 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 以 $\{p_n\}$ 的位置排列。问题变成：求不降序列 $\{b_n\}$ 的个数，满足 $b_i\in[1,a_i]$。

  法一，「APIO 2016」划艇。尝试另一种方法——问题可转化为从 $(1,1)$ 走到 $(n+1,+\infty)$，只能向上或向右走，且横坐标为 $x$ 时纵坐标不超过 $a_x$，求方案数。令 $f(i)$ 表示走到 $x=i$ 时的合法方案数。转移时计算总方案减不合法方案。钦定不合法方案的第一个不合法位置为 $x=j$，方案数即为 $f(j)\binom{(a_i-a_j)+(i-j)-1}{i-j}$（先走到 $(j,a_j+1)$ 保证不合法，再随便走）。所以转移：

$$f(i)=\binom{a_i+i-1}{i-1}-\sum_{j=1}^{i-1}f(j)\binom{a_i-a_j+i-j-1}{i-j}$$

  求组合数 $\binom{a}{b}$ 时 $\mathcal O(b)$ 暴力求就行，因为 $b$ 是 $\mathcal O(n)$ 的。两种方法的总复杂度均为 $\mathcal O(n!n^3)$。

$\mathcal{Code}$

/* Clearink */

#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int MAXN = 6, MOD = 1e9 + 7;
const int inv[] = { 0, 1, 500000004, 333333336, 250000002, 400000003, 166666668 };
int n, a[MAXN + 5], h[MAXN + 5], p[MAXN + 5], f[MAXN + 5];

inline void chkmax ( int& a, const int b ) { a < b ? a = b : 0; }
inline void chkmin ( int& a, const int b ) { b < a ? a = b : 0; }
inline void subeq ( int& a, const int b ) { ( a -= b ) < 0 ? a += MOD : 0; }
inline void addeq ( int& a, const int b ) { ( a += b ) < MOD ? 0 : a -= MOD; }

inline int calcLIS () {
	int f[MAXN + 5] {}, ret = 0;
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
		for ( int j = i - 1; ~j; -- j ) {
			if ( p[i] > p[j] ) {
				chkmax ( f[i], f[j] + 1 );
			}
		}
		chkmax ( ret, f[i] );
	}
	return ret;
}

inline int qkpow ( int a, int b, const int p = MOD ) {
	int ret = 1;
	for ( ; b; a = 1ll * a * a % p, b >>= 1 ) ret = ret * ( b & 1 ? a : 1ll ) % MOD;
	return ret;
}

inline int comb ( const int n, const int m ) {
	int ret = 1;
	for ( int i = 1; i <= m; ++ i ) ret = ( n - i + 1ll ) * ret % MOD * inv[i] % MOD;
	return ret;
}

int main () {
	scanf ( "%d", &n );
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) scanf ( "%d", &a[p[i] = i] );
	int ans = 0;
	do {
		int lis = calcLIS ();
		for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) h[i] = a[p[i]] - 1;
		for ( int i = 1; i < n; ++ i ) {
			if ( p[i] > p[i + 1] ) continue;
			for ( int j = i + 1; j <= n; ++ j ) -- h[j];
		}
		for ( int i = n - 1; i; -- i ) chkmin ( h[i], h[i + 1] );
		int all = comb ( h[n] + n, n );
		for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
			f[i] = comb ( h[i] + i - 1, i - 1 );
			for ( int j = 1; j < i; ++ j ) {
				subeq ( f[i], 1ll * f[j] * comb ( h[i] - h[j] + ( i - j - 1 ), i - j ) % MOD );
			}
			subeq ( all, 1ll * f[i] * comb ( h[n] - h[i] + n - i, n - i + 1 ) % MOD );
		}
		addeq ( ans, 1ll * all * lis % MOD );
	} while ( std::next_permutation ( p + 1, p + n + 1 ) );
	int s = 1;
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) s = 1ll * s * a[i] % MOD;
	printf ( "%d\n", int ( 1ll * ans * qkpow ( s, MOD - 2 ) % MOD ) );
	return 0;
}