Solution -「LOCAL」「cov. 牛客多校 2020 第三场 I」礼物

$\mathcal{Description}$

  给定排列 $\{a_n\}$，求字典序第 $K$ 大的合法排列 $\{b_n\}$。称一个排列 $\{p_n\}$ 合法，当且仅当依次将 $[1,m],[2,m+1],\cdots,[n-m+1,n]$ 内的 $p$ 升序排列后，得到的排列为 $\{a_n\}$ 相同。

  $n\le2 \times 10^6$，$m\le 100$，$K\le2 \times 10^{16}$ 。

$\mathcal{Solution}$

  应该说是构造题吧，想到几乎所有结论却打不出分 qwq。

  显然，$b_i$ 在 $\{a_n\}$ 中的下标属于集合 $[\max\{1,i-m+1\},n]$，反过来，$a_i$ 在 $\{b_n\}$ 中对应的下标属于集合 $[1,\min\{i+m-1,n\}]$。

  然后可以发现 $\{a_n\}$ 中的逆序对非常特殊。有性质：

$$(\exists j\in[1,i))(a_i<a_j) \Rightarrow b_{i+m-1}=a_i$$

  归纳证明。考虑一对 $(i,j)$，满足 $\max_{k\in(i,j)}\{a_k\}<a_j<a_i$，若 $i+1=j$，显然；否则对于 $k\in(i,j)$，已有 $b_{k+m-1}=a_k$，不妨设 $b_x=a_j$，则 $x\not\in[i+m,j+m-2]$，而 $x\in[1,\min\{j+m-1,n\}]$，又有 $x\ge i+m$，所以 $x=j+m-1$ 成立。

  所以可以直接确定所有存在逆序对的 $j$ 的位置。接下来考虑 $\{a_n\}$ 是一个单增排列的情况。

  从左往右构造 $\{b_n\}$，我们需要求出固定 $\{b_n\}$ 的前缀时所有合法 $\{b_n\}$ 的方案数。不妨设固定前 $i$ 位，对于一个没有出现的 $a_j$，其放置方案数显然为 $\min\{j+m-1,n\}-i$。乘法原理就可以得到所求，最后类似多叉树求第 $K$ 大地枚举就好，复杂度 $\mathcal O(n^3)$。

  由于方案数是指数增长，所以前面很多位直接从小到达钦定，再对后缀的 $\mathcal O(\log_mn)$ 暴力构造即可。

  复杂度 $\mathcal O(n+\log^3n)$。

$\mathcal{Code}$

/* Clearink */

#include <cstdio>
#include <algorithm>

typedef long long LL;

inline LL rint () {
	LL x = 0; char s = getchar ();
	for ( ; s < '0' || '9' < s; s = getchar () );
	for ( ; '0' <= s && s <= '9'; s = getchar () ) x = x * 10 + ( s ^ '0' );
	return x;
}

template<typename Tp>
inline void wint ( Tp x ) {
	if ( x < 0 ) putchar ( '-' ), x = ~ x + 1;
	if ( 9 < x ) wint ( x / 10 );
	putchar ( x % 10 ^ '0' );
}

inline int min_ ( const int a, const int b ) { return a < b ? a : b; }

const int MAXN = 2e6;
int n, m, a[MAXN + 5];
LL K;
int top, stk[MAXN + 5], ans[MAXN + 5];
bool used[MAXN + 5];

inline void setnxt ( int& pos, const int x ) { for ( ; ans[pos]; ++ pos ); ans[pos] = x; }

int main () {
	freopen ( "gift.in", "r", stdin );
	freopen ( "gift.out", "w", stdout );
	n = rint (), m = rint (), K = rint ();
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) a[i] = rint ();
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
		if ( a[i] < a[stk[top]] ) ans[i + m - 1] = a[i];
		else stk[++ top] = i;
	}
	int mut = top, pos = 1;
	for ( LL all = 1; mut && all < K; -- mut ) {
		all *= min_ ( m, top - mut + 2 );
	}
	for ( int i = 1; i < mut; ++ i ) setnxt ( pos, a[stk[i]] );
	for ( int i = mut; i <= top; ++ i ) {
		for ( int j = mut; j <= top; ++ j ) {
			if ( used[j] ) continue;
			used[j] = true;
			LL all = 1;
			for ( int k = mut, pre = i; k <= top; ++ k ) {
				if ( !used[k] ) {
					all *= min_ ( top, k + m - 1 ) - pre ++;
				}
			}
			if ( all < K ) K -= all, used[j] = false;
			else { setnxt ( pos, a[stk[j]] ); break; }
		}
	}
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
		wint ( ans[i] );
		putchar ( i ^ n ? ' ' : '\n' );
	}
	return 0;
}