Solution -「CF 1392G」Omkar and Pies

$\mathcal{Description}$

  Link.

  给定两个长度为 $K$ 的 $01$ 串 $S,T$ 和 $n$ 组操作 $(a_i,b_i)$，意义为交换 $S_{a_i}$ 和 $S_{b_i}$。你需要执行一段长度不小于 $m$ 的连续操作区间，最大化 $S$ 和 $T$ 相同的位数。求出最大相同位数。

  $K\le20$，$m\le n\le10^6$。

$\mathcal{Solution}$

  一个简单的性质：$S$ 和 $T$ 同时执行相同操作，答案不变。

  那么可以想到利用后缀和——记 $S_i$ 表示 $S$ 依次执行操作 $i\sim n$ 所得到的串，$T_i$ 同理。根据性质，$S$ 操作区间 $[l,r]$ 后与 $T$ 的相同位数等于 $S_l$ 和 $T_{r+1}$ 的相同位数。

  现在问题变成，给定两个长为 $n+1$ 的串序列 $\{S_{n+1}\},\{T_{n+1}\}$，求：

$$\max_{1\le i+m-1\le r\le n+1}\{\operatorname{same}(S_i,T_j)\}$$

  其中 $\operatorname{same}$ 表示两个串的相同位数。

  接下来考虑 DP。定义：

$$f(0,v)=\min_{v\in S_i}i\\ f(1,v)=\max_{v\in T_i}i$$

  枚举二进制 $v$，转移，如果有 $f(0,v)+m-1\le f(1,v)$，就可以用 $\operatorname{popcount}(v)$ 更新答案。

$\mathcal{Code}$

/* Clearink */

#include <cstdio>

inline int rint ( const int base = 10 ) {
	int x = 0; char s = getchar ();
	for ( ; s < '0' || '9' < s; s = getchar () );
	for ( ; '0' <= s && s <= '9'; s = getchar () ) x = x * base + ( s ^ '0' );
	return x;
}

template<typename Tp>
inline void wint ( Tp x ) {
	if ( x < 0 ) putchar ( '-' ), x = ~ x + 1;
	if ( 9 < x ) wint ( x / 10 );
	putchar ( x % 10 ^ '0' );
}

inline void chkmin ( int& a, const int b ) { b < a ? a = b : 0; }
inline void chkmax ( int& a, const int b ) { a < b ? a = b : 0; }

const int MAXN = 1e6, MAXS = 1 << 20;
int n, m, S, T, K, a[MAXN + 5], b[MAXN + 5], p[MAXN + 5], f[2][MAXS | 5];

inline int swp ( int x ) {
	int ret = 0;
	for ( int i = 0; i < K; ++ i ) ret |= ( ( x >> i ) & 1 ) << p[i];
	return ret;
}

int main () {
	n = rint (), m = rint (), K = rint ();
	S = rint ( 2 ), T = rint ( 2 );
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) a[i] = K - rint (), b[i] = K - rint ();
	for ( int s = 0; s < 1 << K; ++ s ) f[0][s] = n + 1, f[1][s] = -1;
	f[1][T] = n + 1;
	for ( int i = 0; i < K; ++ i ) p[i] = i;
	for ( int i = n; i; -- i ) {
		p[a[i]] ^= p[b[i]] ^= p[a[i]] ^= p[b[i]];
		chkmin ( f[0][swp ( S )], i ), chkmax ( f[1][swp ( T )], i );
	}
	int ans = -1, ansl = -1, ansr = -1;
	for ( int s = ( 1 << K ) - 1; ~s; -- s ) {
		for ( int i = 0; i < K; ++ i ) {
			if ( !( ( s >> i ) & 1 ) ) continue;
			chkmin ( f[0][s ^ ( 1 << i )], f[0][s] );
			chkmax ( f[1][s ^ ( 1 << i )], f[1][s] );
		}
		if ( f[1][s] - f[0][s] >= m ) {
			if ( int t = __builtin_popcount ( s ); ans < t ) {
				ans = t, ansl = f[0][s], ansr = f[1][s] - 1;
			}
		}
	}
	ans = 2 * ans + K - __builtin_popcount ( S ) - __builtin_popcount ( T );
	wint ( ans ), putchar ( '\n' );
	wint ( ansl ), putchar ( ' ' ), wint ( ansr ), putchar ( '\n' );
	return 0;
}