Solution -「CF 1392H」ZS Shuffles Cards

$\mathcal{Description}$

  Link.

  打乱的 $n$ 张编号 $1\sim n$ 的数字排和 $m$ 张鬼牌。随机抽牌，若抽到数字，将数字加入集合 $S$；否则，还原牌堆（但不清空 $S$）。若 $S=[1,n]$ 且抽到鬼牌时结束抽牌。求期望抽牌次数。

  $n,m\le2\times10^6$。

$\mathcal{Solution}$

  称从初始牌堆开始抽牌一直到抽到鬼牌为一轮操作，发现结束时必然抽了若干个完整的轮且不能中途终止。所以“抽完一轮”和“结束抽牌”两事件独立，分别记二者的随机变量为 $\xi_1$ 和 $\xi_2$，则答案为 $E(\xi_1\xi_2)=E(\xi_1)E(\xi_2)$。

  $E(\xi_1)$ 显然等于一轮抽到数字牌的期望张数 $+1$。 而由期望线性性，它也等于 $n\times p+1$，其中 $p$ 表示抽到某一张牌的概率，有：

$$p=\frac{1}{m+1}$$

  一种直观的解释方法是，把每张数字牌和 $m$ 张鬼牌绑为一组，每次拿出这样一组牌，再从中随机选出一张作为抽到的牌，其它牌丢掉，不难证明这和原操作等价。显然拿出某一张数字牌所在的组时，有 $p=\frac{1}{m+1}$ 的概率真正拿到这张数字牌，不然就永远拿不到了。于是，我们求到了：

$$E(\xi_1)=\frac{n}{m+1}+1$$

---

  求 $E(\xi_2)$，令 $f(i)$ 表示已有 $|S|=n-i$，到结束时的期望轮数。方程有：

$$f(i)=\frac{m}{m+i}\left(f(i)+1\right)+\frac{i}{m+i}f(i-1)$$

  特别留意上式，总牌数 $m+i$ 是因为其他 $n-i$ 张数字牌没有任何意义，可以忽略；前一项抽到鬼牌，轮数才要 $+1$；后一项抽到有用数字牌，但是这一轮并没有结束，所以不用 $+1$。

  整理一下：

$$f(i)=f(i-1)+\frac{m}{i}$$

  对于边界 $f(1)$，即 $m+1$ 张里挑出一张的期望，显然有 $f(1)=m+1$。代一代求出 $f(n)$：

$$f(n)=1+m\sum_{i=1}^n\frac1{i}$$

  综上，答案为：

$$\begin{aligned} E(\xi_1\xi_2)&=E(\xi_1)E(\xi_2)\\ &=\left(\frac{n}{m+1}+1\right)f(n)\\ &=\left( \frac{n}{m+1}+1 \right)\left( 1+m\sum_{i=1}^n\frac1i \right) \end{aligned}$$

  计算即可。复杂度 $\mathcal O(n+\log m)$。

$\mathcal{Code}$

/* Clearink */

#include <cstdio>

const int MOD = 998244353, MAXN = 2e6;
int n, m, inv[MAXN + 5];

inline int qkpow ( int a, int b, const int p = MOD ) {
	int ret = 1;
	for ( ; b; a = 1ll * a * a % p, b >>= 1 ) ret = 1ll * ret * ( b & 1 ? a : 1 ) % p;
	return ret;
}

int main () {
	scanf ( "%d %d", &n, &m );
	int turn = ( n + m + 1ll ) * qkpow ( m + 1, MOD - 2 ) % MOD, times = 1;
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
		inv[i] = i ^ 1 ? 1ll * inv[MOD % i] * ( MOD - MOD / i ) % MOD : 1;
		times = ( times + 1ll * m * inv[i] ) % MOD;
	}
	printf ( "%d\n", int ( 1ll * turn * times % MOD ) );
	return 0;
}