Solution -「LOCAL」过河

$\mathcal{Description}$

  一段坐标轴 $[0,L]$，从 $0$ 出发，每次可以 $+a$ 或 $-b$，但不能越出 $[0,L]$。求可达的整点数。

  $L\le10^{12}$，$1\le a,b\le10^5$。

$\mathcal{Solution}$

$\mathcal{Case~1}$

  考场上玄学操作，天知道为什么兔子签到的姿势如此诡异。

  显然先约 $\gcd$。我们从 $0$ 次开始枚举 $-b$ 的次数，设当前枚举到 $k$，若 $kb\equiv0\pmod a$，可以通过少一次 $a$ 来完成，调出循环；否则，钦定 $k$ 次 $-b$ 时，可达的整点一定是一个模 $a$ 剩余类中连续的区间，即 $l,l+a,l+2a,\cdots,r$。我们只需要维护出 $(l,r)$，累加 $\frac{r-l}a+1$ 就能得到答案。考虑多一次 $-b$ 对 $(l,r)$ 的影响，例如当 $a=4,b=3$：

$$-~~~~-~~~~l~~~~-~~~~-~~~~-~~~~l+a~~~~-~~~~-~~~~-~~~~r~~~~-$$

  首先左移 $b$ 位，类似位运算，出界的低位被销毁：

$$-~~~~-~~~~-~~~~l+a~~~~-~~~~-~~~~-~~~~r~~~-~~~~-~~~~-~~~~-$$

  这个时候需要判断是否存在 $l+ka$（可能 $b$ 是 $a$ 的若干倍，不仅是一个 $+a$ 可以拉回来的），若不存在，跳出。然后考虑更新 $r$，它还能往后 $+a$，一直顶满上限：

$$-~~~~-~~~~-~~~~l+a~~~~-~~~~-~~~~-~~~~r-a~~~-~~~~-~~~~-~~~~r$$

  于是模拟一下就解决了。复杂度 $\mathcal O(a+b)$。

$\mathcal{Case~2}$

  可以打表证明当 $a+b-1>L$，答案为 $L+1$；否则暴力 DFS……

  兔子可能是个傻瓜，嗯。

$\mathcal{Code}$

// case 1
#include <cstdio>

typedef long long LL;

inline char fgc () {
	static char buf[1 << 17], *p = buf, *q = buf;
	return p == q && ( q = buf + fread ( p = buf, 1, 1 << 17, stdin ), p == q ) ? EOF : *p ++;
}

inline LL rint () {
	LL x = 0; char s = fgc ();
	for ( ; s < '0' || '9' < s; s = fgc () );
	for ( ; '0' <= s && s <= '9'; s = fgc () ) x = x * 10 + ( s ^ '0' );
	return x;
}

inline void wint ( const LL x ) {
	if ( 9 < x ) wint ( x / 10 );
	putchar ( x % 10 ^ '0' );
}

LL L, a, b;
bool vis[100005];

inline LL gcd ( const LL a, const LL b ) {
	return b ? gcd ( b, a % b ) : a;
}

int main () {
	freopen ( "river.in", "r", stdin );
	freopen ( "river.out", "w", stdout );
	L = rint (), a = rint (), b = rint ();
	int d = gcd ( a, b );
	a /= d, b /= d, L /= d;
	if ( a == 1 ) return wint ( L + 1 ), putchar ( '\n' ), 0;
	if ( b == 1 ) return wint ( a > L ? 1 : L + 1 ), putchar ( '\n' ), 0;
	LL ans = L / a + 1, l = 0, r = a * ( L / a );
	vis[0] = true;
	for ( int useb = 1; !vis[1ll * useb * b % a]; ++ useb ) {
		vis[useb * b % a] = true;
		l -= b;
		if ( l < 0 ) l += a * ( ( -l - 1 ) / a + 1 );
		if ( l + b > r ) break;
		r -= b;
		if ( L - r >= a ) r += a * ( ( L - r ) / a );
		if ( l > r ) break;
		ans += ( r - l ) / a + 1;
	}
	wint ( ans ), putchar ( '\n' );
	return 0;
}

$\mathcal{Details}$

  还陷在省选难度签不动道的怪圈里……这道题算上拍浪费了差不多 $40min$。

  麻烦兔子醒醒啊！