Solution -「CF 1060F」Shrinking Tree

$\mathcal{Description}$

  Link.

  给定一棵 $n$ 个点的树，反复随机选取一条边，合并其两端两点，新点编号在两端两点等概率选取。问每个点留到最后的概率。

  $n\le50$。

$\mathcal{Solution}$

  推荐 @ywy_c_asm 的博客 owo。

  所有的操作方案数是 $(n-1)!$，我们可以按删边顺序看做一个长度为 $n-1$ 的序列。对于每个点分别计算答案，把当前要算的点提为根（记为 $r$），我们只需要求出 $r$ 在所有操作序列中存活的概率和除以 $(n-1)!$ 即可。

  令 $f(u,i)$ 为 $r$ 已经走到 $u$，$u$ 子树内还剩下 $i$ 条边没删（没加入删边序列），最终 $u$（即 $r$）存活的概率和。显然答案为 $f(r,n-1)$，边界 $f(leaf,0)=1$。

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  第一步，考虑儿子 $v$ 与 $u$ 合并。相当于需要考虑边 $(u,v)$ 在操作序列中的位置。粗略来说，若 $r$ 没走到 $u$，我们并不关心 $u$ 号结点的生死；而 $r$ 到 $u$ 后，$u$ 就必须存活。

  定义辅助状态 $g(u,i)$ 表示 $u$ 子树内以及 $u$ 的父边还剩下 $i$ 条边没删，最终 $u$ 存活的概率和。现在我们要计算 $g(u,i)$。

  第一类，$(u,v)$ 保留到 $r$ 到达 $u$ 后再删，那么就涉及到 $u$ 点存活的概率。于是有转移：

$$g(u,i)=\frac{1}2\sum_{v\in son_u\land j\in[0,i)}f(v,j)$$

  第二类，$(u,v)$ 在 $r$ 到达 $u$ 之前就删，那就很随意啦—— $v$ 子树中已删除了 $siz_v-1-i$ 条边，我们把 $(u,v)$ 随便插进一个位置就好，即：

$$g(u,i)=(siz_v-i)f(v,i)$$

  上两类转移贡献之和即为最终的 $g(u,i)$。

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  考虑合并，始终记住删除的“序列意义”——保留的边（状态第二维）在删边序列的右端，其它的边在删边序列的左端。合并两个删边序列，仍需要保证这一点，那么分别用组合数合并已删除的左端序列和待删除的右端序列即可。下是 @ywy_c_asm 博客的一张图 owo（红色已删除，蓝色待删除）：

  答案呼之欲出啦：

$$f'(u,i+j)=\sum_{i,j}\binom{i+j}{i}\binom{(siz_u-1)+siz_v-i-j}{(siz_u-1)-i}f(u,i)g(v,j)$$

  两个组合数分别对应分配已删和待删的方案数。

  最终，复杂度 $\mathcal O(n^4)$ 解决了这道毒瘤 DP qwq。

$\mathcal{Code}$

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int MAXN = 50;
int n, ecnt, head[MAXN + 5], siz[MAXN + 5];
double fac[MAXN + 5];
double f[MAXN + 5][MAXN + 5];
double g[MAXN + 5], h[MAXN + 5];

struct Edge { int to, nxt; } graph[MAXN * 2 + 5];

inline void link ( const int s, const int t ) {
	graph[++ ecnt] = { t, head[s] };
	head[s] = ecnt;
}

inline void init () {
	fac[0] = 1;
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) fac[i] = fac[i - 1] * i;
}

inline double comb ( const int n, const int m ) {
	return n < m ? 0 : fac[n] / fac[m] / fac[n - m];
}

inline void solve ( const int u, const int fa ) {
	f[u][0] = siz[u] = 1;
	for ( int i = head[u], v; i; i = graph[i].nxt ) {
		if ( ( v = graph[i].to ) ^ fa ) {
			solve ( v, u );
			for ( int j = 0; j <= siz[v]; ++ j ) {
				g[j] = 0;
				for ( int k = 0; k < j; ++ k ) g[j] += 0.5 * f[v][k];
				g[j] += ( siz[v] - j ) * f[v][j];
			}
			for ( int j = 0; j <= siz[v] + siz[u]; ++ j ) h[j] = 0;
			for ( int j = 0; j < siz[u]; ++ j ) {
				for ( int k = 0; k <= siz[v]; ++ k ) {
					h[j + k] += f[u][j] * g[k] * comb ( j + k, j )
						* comb ( siz[u] + siz[v] - 1 - j - k, siz[u] - 1 - j );
				}
			}
			siz[u] += siz[v];
			for ( int j = 0; j <= siz[u]; ++ j ) f[u][j] = h[j];
		}
	}
}

int main () {
	scanf ( "%d", &n ), init ();
	for ( int i = 1, u, v; i < n; ++ i ) {
		scanf ( "%d %d", &u, &v );
		link ( u, v ), link ( v, u );
	}
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
		memset ( f, 0, sizeof f );
		solve ( i, 0 );
		printf ( "%.12f\n", f[i][n - 1] / fac[n - 1] );
	}
	return 0;
}