Solution -「CF 1025G」Company Acquisitions

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  \(n\) 个公司，每个公司可能独立或者附属于另一个公司。初始时，每个公司附属于 \(a_i\)（\(a_i=-1\) 表示该公司独立）。不存在两级及以上的附属关系。每次事件随机选取两个独立的公司，使其中一个公司所拥有的附属公司全部独立，并且该公司成为另一个公司的附属。求使仅存在一个独立公司的期望操作次数。对 \(10^9+7\) 取模。

  \(n\le500\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  奇怪的解题姿势增加了！

  记一个公司的势能函数 \(\phi(i)=2^{s_i}-1\)，其中 \(s_i\) 为该公司拥有的结点个数。并记 \(\phi(S)\) 为局面 \(S\) 的势能函数，有：

\[\phi(S)=\sum_{i=1}^n\phi(i) \]

  那么，结束局面 \(T\) 的势能函数 \(\phi(T)=2^{n-1}-1\)。

  考虑单次事件对势能的影响。对于局面 \(S\) 中一次作用在两个独立公司 \(u,v\) 上的事件，有：

\[\begin{align} E(\Delta\phi)&=E(\phi(S'))-\phi(S)\\ &=\frac{1}2((2^{s_u}-1)+(2^{s_v}-1))-(2^{s_u-1}-1)-(2^{2_v-1}-1)\\ &=-1+2\\ &=1 \end{align} \]

  一次事件在期望意义下会让局面的势能 \(+1\)！所以期望事件个数就是势能的期望变化次数。即：

\[\phi(T)-\phi(S) \]

  其中 \(S\) 是初始局面，\(T\) 即上文结束局面。输出这个值就好啦！

  复杂度 \(\mathcal O(n)\)。

\(\mathcal{Code}\)

#include <cstdio>

const int MAXN = 500, MOD = 1e9 + 7;
int n, d[MAXN + 5];

inline int qkpow ( int a, int b, const int p = MOD ) {
	int ret = 1;
	for ( ; b; a = 1ll * a * a % p, b >>= 1 ) ret = 1ll * ret * ( b & 1 ? a : 1 ) % p;
	return ret;
}

int main () {
	scanf ( "%d", &n );
	int ans = ( MOD + qkpow ( 2, n - 1 ) - 1 ) % MOD;
	for ( int i = 1, f; i <= n; ++ i ) {
		scanf ( "%d", &f );
		if ( ~ f ) d[i] = -1, ++ d[f];
	}
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
		if ( ~ d[i] ) {
			ans = ( ans - qkpow ( 2, d[i] ) + 1 + MOD ) % MOD;
		}
	}
	printf ( "%d\n", ans );
	return 0;
}