Solution -「AGC 002F」「AT 2000」Leftmost Ball

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  给你 \(n\) 种颜色的球，每个球有 \(k\) 个，把这 \(n\times k\) 个球排成一排，把每一种颜色的最左边出现的球涂成白色(初始球不包含白色)，求有多少种不同的颜色序列。对 \(10^9+7\) 取模。

  \(n,k\le2000\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  钦定颜色无序，并把“最左边出现的球涂成白色”理解为“放白球，前缀白球个数不小于前缀颜色个数”。设 \(f(i,j)\) 表示已经放了 \(i\) 个白球，放完了 \(j\) 中颜色的方案数。转移：

\[f(i,j)=[i\not=j]f(i-1,j)+\binom{nk-i-(j-1)(k-1)-1}{k-2}f(i,j-1) \]

  前一项是放白球，并保证前缀白球个数不小于前缀颜色个数；后者是放完全部 \(j\) 颜色的球，并保证第一个球在白球位置（无贡献），第二个球在 \(nk\) 个位置目前最前的空位（颜色无序，必须保证颜色出现位置升序；无贡献）；其余 \(k-2\) 个球在剩下的位置任意选择放置。

  答案即为 \(n!f(n,n)\)。复杂度 \(\mathcal O(n^2)\)。

\(\mathcal{Code}\)

#include <cstdio>

const int MAXN = 2000, MAXL = MAXN * MAXN, MOD = 1e9 + 7;
int n, K, fac[MAXL + 5], ifac[MAXL + 5], f[MAXN + 5][MAXN + 5];

inline void addeq ( int& a, const int b ) { if ( ( a += b ) >= MOD ) a -= MOD; }

inline int qkpow ( int a, int b ) {
	int ret = 1;
	for ( ; b; a = 1ll * a * a % MOD, b >>= 1 ) ret = 1ll * ret * ( b & 1 ? a : 1 ) % MOD;
	return ret;
}

inline void init ( const int n ) {
	fac[0] = 1;
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) fac[i] = 1ll * i * fac[i - 1] % MOD;
	ifac[n] = qkpow ( fac[n], MOD - 2 );
	for ( int i = n - 1; ~ i; -- i ) ifac[i] = ( i + 1ll ) * ifac[i + 1] % MOD;
}

inline int C ( const int n, const int m ) {
	return n < m ? 0 : 1ll * fac[n] * ifac[m] % MOD * ifac[n - m] % MOD;
}

int main () {
	scanf ( "%d %d", &n, &K );
	if ( K == 1 ) return puts ( "1" ), 0;
	init ( n * K ), f[0][0] = 1;
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
		for ( int j = 0; j <= i; ++ j ) {
			int& cur = f[i][j];
			if ( i ^ j ) addeq ( cur, f[i - 1][j] );
			if ( j ) addeq ( cur, 1ll * f[i][j - 1]
				* C ( n * K - i - ( j - 1 ) * ( K - 1 ) - 1, K - 2 ) % MOD );
		}
	}
	printf ( "%d\n", int ( 1ll * f[n][n] * fac[n] % MOD ) );
	return 0;
}