Solution -「AGC 012F」「AT 2366」Prefix Median

$\mathcal{Description}$

  Link.

  给定序列 $\{a_{2n-1}\}$，将 $\{a_{2n-1}\}$ 按任意顺序排列后，令序列 $b_i$ 为前 $2i-1$ 个数的中位数。求 $\{b_n\}$ 的个数，对 $10^9+7$ 取模。

  $n\le50$。

$\mathcal{Solution}$

  $\{b_n\}$ 有一个很 naive 的性质：$b_n$ 是常数，是 $\{a_{2n-1}\}$ 的中位数。

  考虑扩展这一性质，从后往前，$b_{i+1}$ 所对应的 $a$ 序列删去两个数后就得到 $b_i$ 所对应的序列。显然，$b_i$ 要么是 $b_{i+1}$ 在新序列的前驱或后记，要么不变。

  形式地，有性质：

$$(\forall i\in[1,n))(\not\exists j\in[1,n])(b_i<b_j<b_{i+1}\lor b_{i+1}<b_j<b_i)$$

  接着，考虑到中位数本身的性质，将 $\{a_{2n+1}\}$ 升序排列后，可以确定每个 $b_i$ 的范围：

$$a_i\le b_i\le a_{2n-i}$$

  那么设状态 $f(i,j,k)$ 表示确定前 $i$ 位，中位数左边有 $j$ 个数可用，右边有 $k$ 个数可用的方案数。转移就……看代码吧 www~

$\mathcal{Code}$

#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int MAXN = 50, MAXM = 100, MOD = 1e9 + 7;
int n, m, a[MAXM + 5], f[2][MAXM + 5][MAXM + 5];

inline void addeq ( int& a, const int b ) { if ( ( a += b ) >= MOD ) a -= MOD; }

int main () {
	scanf ( "%d", &n ), m = 2 * n;
	for ( int i = 1; i < m; ++ i ) scanf ( "%d", &a[i] );
	std::sort ( a + 1, a + m );
	f[0][0][0] = 1;
	for ( int i = n, t = 0; i > 1; -- i, t ^= 1 ) {
		bool dl = a[i] ^ a[i - 1], dr = a[m - i + 1] ^ a[m - i];
		for ( int j = 0; j < m; ++ j ) {
			for ( int k = 0; k < m; ++ k ) {
				int& cur = f[t][j][k];
				if ( ! cur ) continue;
				addeq ( f[t ^ 1][j + dl][k + dr], cur );
				for ( int p = 0; p < j + dl; ++ p ) addeq ( f[t ^ 1][p][k + dr + 1], cur );
				for ( int p = 0; p < k + dr; ++ p ) addeq ( f[t ^ 1][j + dl + 1][p], cur );
				cur = 0;
			}
		}
	}
	int ans = 0;
	for ( int i = 0; i < m; ++ i ) {
		for ( int j = 0; j < m; ++ j ) {
			addeq ( ans, f[n & 1 ^ 1][i][j] );
		}
	}
	printf ( "%d\n", ans );
	return 0;
}