Solution -「APIO 2018」「洛谷 P4630」铁人两项

$\mathcal{Description}$

  Link.

  给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图（不保证联通），求有序三元点对 $(s,c,f)$ 的个数，满足 $s,c,f$ 互不相同，且存在一条从 $s$ 到 $c$ 再到 $f$ 的简单路径。

  $n\le10^5$，$m\le2\times10^5$。

$\mathcal{Solution}$

  首先考虑这样一个问题，若 $s,c,f$ 在同一点双中，是否一定满足条件。

  答案是肯定的，这里介绍一种 CF 某题解上提到的证明。

性质证明

  构造网络，将点双中的每个点拆点。对于点 $u$，连接 $(u_i,u_o,1)$。对于原图中的边 $(u,v)$，连接 $(u_o,v_i,1)$。对于选定的 $s,c,f$，连接 $(S,c_i,2),(s_o,T,1),(f_o,T,1)$，接下来只需要证明该网络的最大流为 $2$。

  那么只需要考虑最小割 $C$。显然 $C\le2$，则只需证 $C>1$。

  首先，割掉 $(S,c_i,2)$ 或同时割掉 $(s_o,T,1),(f_o,T,1)$ 都不能使 $C\le1$。接下来考虑其它类型的边。

• 割掉 $(u_i,u_o,1)$，相当于删除 $u$ 点。因为这是一个点双，所以 $c$ 与 $s,f$ 仍然连通，不满足。

• 割掉 $(u_o,v_i,1)$，相当于删除 $(u,v)$ 边。显然其对于连通性的影响不大于删除 $u$ 点或 $v$ 点，由上种情况，亦不满足。

  到此，有 $C>1$。由因为 $C\le2$ 且 $C\in\mathbb N$，所以 $C=2$。那么这样的路径一定存在，证毕。

  那么如果固定 $s,f$，合法的 $c$ 就可以在圆方树 $s$ 到 $f$ 路径上的所有圆点和所有方点所代表的圆点（除去 $s,f$）。这是因为 $c$ 取在任意点双内部，由我们的结论，都一定可以从某点进入点双，经过 $c$，再从某点走出点双。

  但简单的计算会导致重复——一个圆点对多个方点有贡献。

  举个例子，对于 $u-w-v$，$w$ 是圆点，$u,v$ 是方点，如果我们单纯地用点双大小作为方点的权值，$w$ 就会在 $u$ 和 $v$ 中分别计算一次。

  解决办法很巧妙：将圆点的权值设为 $-1$。考虑 $s$ 到 $f$ 的路径必然是”圆-方-圆-……-圆-方-圆“，两个端点的 $-1$，去除了 $s$ 和 $f$ 的贡献，中间的 $-1$ 去除了在左右的”方“中重复的贡献。那么，合法的 $c$ 的数量就是 $s$ 到 $f$ 的树上路径权值之和。

  于是，相当于求树上点对的路径权值和。反过来，固定 $c$，维护子树信息求出 $(s,f)$ 的方案数，计算 $c$ 的贡献即可。

  复杂度 $\mathcal O(n)$。

$\mathcal{Code}$

#include <cstdio>

const int MAXN = 1e5, MAXM = 2e5;
int n, m, q, snode;
int dfc, top, dfn[MAXN + 5], low[MAXN + 5], stk[MAXN + 5];
int siz[MAXN * 2 + 5], val[MAXN * 2 + 5];
long long ans;

struct Graph {
	int ecnt, head[MAXN * 2 + 5], to[MAXM * 2 + 5], nxt[MAXM * 2 + 5];
	inline void link ( const int s, const int t ) {
		to[++ ecnt] = t, nxt[ecnt] = head[s];
		head[s] = ecnt;
	}
	inline void add ( const int u, const int v ) {
		link ( u, v ), link ( v, u );
	}
} src, tre;

inline bool chkmin ( int& a, const int b ) { return b < a ? a = b, true : false; }

inline void Tarjan ( const int u, const int f ) {
	dfn[u] = low[u] = ++ dfc, val[stk[++ top] = u] = -1;
	for ( int i = src.head[u], v; i; i = src.nxt[i] ) {
		if ( ( v = src.to[i] ) == f ) continue;
		if ( ! dfn[v] ) {
			Tarjan ( v, u ), chkmin ( low[u], low[v] );
			if ( low[v] >= dfn[u] ) {
				tre.add ( u, ++ snode ), val[snode] = 1;
				do tre.add ( snode, stk[top] ), ++ val[snode]; while ( stk[top --] ^ v );
			}
		} else chkmin ( low[u], dfn[v] );
	}
}

inline void calc ( const int u, const int f ) {
	siz[u] = u <= n;
	for ( int i = tre.head[u], v; i; i = tre.nxt[i] ) {
		if ( ( v = tre.to[i] ) ^ f ) {
			calc ( v, u );
			ans += 1ll * val[u] * siz[u] * siz[v];
			siz[u] += siz[v];
		}
	}
	ans += 1ll * val[u] * siz[u] * ( dfc - siz[u] );
}

int main () {
	scanf ( "%d %d", &n, &m ), snode = n;
	for ( int i = 1, u, v; i <= m; ++ i ) {
		scanf ( "%d %d", &u, &v );
		src.add ( u, v );
	}
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
		if ( ! dfn[i] ) {
			dfc = top = 0;
			Tarjan ( i, 0 );
			calc ( i, 0 );
		}
	}
	printf ( "%lld\n", ans << 1 );
	return 0;
}