Note -「圆方树」学习笔记

目录

• 圆方树的定义
• 圆方树的构造
  • 实现
  • 细节
• 圆方树的运用
  • 「BZOJ 3331」压力
    • $\mathcal{Description}$
    • $\mathcal{Solution}$
  • 「洛谷 P4320」道路相遇
    • $\mathcal{Description}$
    • $\mathcal{Solution}$
  • 「APIO 2018」「洛谷 P4630」铁人两项
    • $\mathcal{Description}$
    • $\mathcal{Solution}$
  • 「CF 487E」Tourists
    • $\mathcal{Description}$
    • $\mathcal{Solution}$
  • 「SDOI 2018」「洛谷 P4606」战略游戏
    • $\mathcal{Description}$
    • $\mathcal{Solution}$
  • 「BZOJ 4316」小C的独立集
    • $\mathcal{Description}$
    • $\mathcal{Solution}$
  • 「洛谷 P5236」「模板」静态仙人掌
    • $\mathcal{Description}$
    • $\mathcal{Solution}$
  • 「HNOI 2009」「洛谷 P4410」无归岛
    • $\mathcal{Description}$
    • $\mathcal{Solution}$

圆方树的定义

  圆方树是由一个无向图转化出的树形结构。转化方法为：

• 所有原图的点为“圆点”。
• 对于每个点双连通分量：
  • 删去点双内部“圆点”间的连边。
  • 新建点双的代表点——“方点”。
  • 方点向点双内的所有点连边。

  举个例子：

  观察图片，我们可以得到圆方树的一些性质：

• 不存在相邻的方点。
• 一个圆点同时隶属于它所邻接的所有方点所代表的点双。可见所有非叶子圆点都是原图的割点。
• 从圆点 $u$ 到圆点 $v$ 的树上路径所经过的圆点是原图 $u$ 到 $v$ 的所有路径一定经过的点。

圆方树的构造

  既然跟点双相关，那肯定是 $\text{Tarjan}$ 老爷爷上场啦！

  圆方树的构造算法实质上就是在求点双的基础上构建一个新图。设当前结点为 $u$，若发现其儿子（DFS 树上儿子）$v$ 的 low[v]>=dfn[u]，那么就知道 $u$ 是一个割点或者是 DFS 树根。我们不必对此加以区分，直接将 $u$ 和新建的方点 $w$ 连边，然后 $w$ 向所有退栈的点连边，圆方树就构造完成了。

实现

inline void Tarjan ( const int u, const int f ) {
	dfn[u] = low[u] = ++ dfc, stk[++ tp] = u;
	adj ( src, u, v ) if ( v ^ f ) { // 枚举原图上u的临界点，并保证其不是DFS树上u的父亲。
		if ( ! dfn[v] ) {
			Tarjan ( v, u ), chkmin ( low[u], low[v] );
			if ( low[v] >= dfn[u] ) {
				tre.add ( u, ++ snode ); // snode初值为n，用于计数新建结点。
				do tre.add ( snode, stk[tp] ); while ( stk[tp --] ^ v );
                                // 向每个退栈的点连边。
			}
		} else chkmin ( low[u], dfn[v] );
	}
}

细节

  在运用圆方树的过程中，我们往往需要在方点维护一些信息。为了避免重复，我们一般在割点处单独维护圆点信息，而在方点中不考虑割点。（即在上文算法中，结点 $snode$ 不考虑 $u$ 的信息，只记录 $v$ 的信息。）

圆方树的运用

「BZOJ 3331」压力

$\mathcal{Description}$

  Link.

  给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的连通无向图，并给出 $q$ 个点对 $(u,v)$，令 $u$ 到 $v$ 的路径所必经的结点权值 $+1$。求最终每个结点的权值。

  $n\le10^5$，$m,q\le2\times10^5$。

$\mathcal{Solution}$

  看到”必经之点“，应该考虑圆方树。

  对于每个点对，直接在圆方树上作差分，最后一遍 DFS 求每个圆点的子树和即可。

  详细题解：my solution。

「洛谷 P4320」道路相遇

$\mathcal{Description}$

  Link.

  给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的连通无向图，并给出 $q$ 个点对 $(u,v)$，询问 $u$ 到 $v$ 的路径所必经的结点个数。

  $n,q\le5\times10^5$，$q\le\min\{\frac{n(n-1)}2,10^6\}$。

$\mathcal{Solution}$

  和上一道几乎一样。预处理圆方树上每个点到根经过的圆点个数，然后求 LCA 计算答案。

  详细题解：my solution。

「APIO 2018」「洛谷 P4630」铁人两项

$\mathcal{Description}$

  Link.

  给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图（不保证联通），求有序三元点对 $(s,c,f)$ 的个数，满足 $s,c,f$ 互不相同，且存在一条从 $s$ 到 $c$ 再到 $f$ 的简单路径。

  $n\le10^5$，$m\le2\times10^5$。

$\mathcal{Solution}$

  首先考虑这样一个问题，若 $s,c,f$ 在同一点双中，是否一定满足条件。

  答案是肯定的，这里不细说。

  那么如果固定 $s,f$，合法的 $c$ 就可以在圆方树 $s$ 到 $f$ 路径上的所有圆点和所有方点所代表的圆点（除去 $s,f$）。这是因为 $c$ 取在任意点双内部，由我们的结论，都一定可以从某点进入点双，经过 $c$，再从某点走出点双。

  但简单的计算会导致重复——一个圆点对多个方点有贡献。

  举个例子，对于 $u-w-v$，$w$ 是圆点，$u,v$ 是方点，如果我们单纯地用点双大小作为方点的权值，$w$ 就会在 $u$ 和 $v$ 中分别计算一次。

  解决办法很巧妙：将圆点的权值设为 $-1$。考虑 $s$ 到 $f$ 的路径必然是”圆-方-圆-……-圆-方-圆“，两个端点的 $-1$，去除了 $s$ 和 $f$ 的贡献，中间的 $-1$ 去除了在左右的”方“中重复的贡献。那么，合法的 $c$ 的数量就是 $s$ 到 $f$ 的树上路径权值之和。

  于是，相当于求树上点对的路径权值和。反过来，固定 $c$，维护子树信息求出 $(s,f)$ 的方案数，计算 $c$ 的贡献即可。

  详细题解：my solution（带上文所述性质的证明）。

「CF 487E」Tourists

$\mathcal{Description}$

  Link.

  维护一个 $n$ 个点 $m$ 条边的简单无向连通图，点有点权。$q$ 次操作：

• 修改单点点权。
• 询问两点所有可能路径上点权的最小值。

  $n,m,q\le10^5$。

$\mathcal{Solution}$

  怎么可能维护图嘛，肯定是维护圆方树咯！

  一个比较 naive 的想法是，每个方点维护其邻接圆点的最小值，树链剖分处理询问。

  不过修改的复杂度会由于菊花退化：修改”花蕊“的圆点，四周 $\mathcal O(n)$ 个方点的信息都需要修改。

  联想到 array 这道题，我们尝试”弱化“方点所维护的信息。每个方点，维护其圆方树上儿子们的点权最小值。那么每次修改圆点，至多就只有其父亲需要修改信息了。

  于是，每个方点用 std::multiset 或者常见的双堆 trick 维护最小值信息（推荐后者，常数较小），再用一样的树剖处理询问即可。

  详细题解：my solution。

「SDOI 2018」「洛谷 P4606」战略游戏

$\mathcal{Description}$

  Link.

  给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向连通图，$q$ 次询问，每次给出一个点集 $s$，求至少在原图中删去多少个点，使得 $s$ 中存在两点不连通。多组数据。

  每组数据 $n,q\le10^5$，$m,\sum|s|\le2\times10^5$。

$\mathcal{Solution}$

  看到 $\sum|s|$ 的限制，不难联想到虚树或者其它与 DFN 相关的算法。

  所以，先建出圆方树，并处理好 DFN，LCA 的一系列信息。考虑到答案就是 $s$ 中的点在树上构成的连通块中不在 $s$ 集合里的圆点个数，可以求一个树上前缀和：$sum_u$ 表示从 $u$ 到根路径上的圆点个数。处理询问时，先将 $s$ 按 DFN 从小到大排序，两两 LCA 计算贡献（$s_1$ 和 $s_{|s|}$ 也要算一次），最后除以 $2$，得到 $cnt$。不过整个连通块的根（$\operatorname{LCA}(s_1,s_{|s|})$）这个点的贡献被遗漏了，所以要再加上这个点单独的贡献。最终答案就是 $cnt-|s|$。

  详细题解：my solution。

「BZOJ 4316」小C的独立集

$\mathcal{Description}$

  Link.

  求包含 $n$ 个结点 $m$ 条边的仙人掌的最大独立集。

  $n\le5\times10^4$，$m\le6\times10^4$。

$\mathcal{Solution}$

  建出圆方树，考虑树上 DP。

  设状态 $f(i,0/1)$ 表示该点不选择/不限制选择与父亲相邻的圆点（对于圆点，即它本身）时，子树内的最大独立集。转移分圆点和方点讨论：

• 圆点：很显然，$f(u,0)=\sum_{v\in son_u}f(v,1),f(u,1)=\max\{f(u,0),\sum_{v\in son_u}f(v,0)+1\}$。

• 方点：考虑把环展开成链。在链上做一个子 DP，这里不赘述。

  最后，$f(root,1)$ 就是答案。

  详细题解：my solution（含子 DP 详细说明）。

「洛谷 P5236」「模板」静态仙人掌

$\mathcal{Description}$

  Link.

  给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的仙人掌，$q$ 组询问两点最短路。

  $n,q\le10^4$，$m\le2\times10^4$。

$\mathcal{Solution}$

  提出一个环来考虑，从环上一点 $u$ 到 $v$，无非两条路径。可以按顺序处理一个前缀和，计算两条路径边权的最小值。这里不细说。

  建圆方树（很多题解说建树的细节与普通图不一样，其实正常建也没有任何问题 qwq），发现一个圆点走进方点（点双），在走到父亲圆点的最短距离可以在 $\text{Tarjan}$ 算法中预处理出来。考虑圆方树上的边权：圆点到父亲方点的边权为上述最短距离，否则为 $0$。对于询问 $(u,v)$，找到其 $\text{LCA}$（设为 $w$），分 $w$ 的情况讨论：

• $w$ 是圆点，那么 $\text{LCA}$ 时求出的树上距离就是答案。
• $w$ 是方点，此时树上距离实际上是 $u$ 和 $v$ 走到 $w$ 的父亲圆点的距离之和，明显时错误的——$u$ 和 $v$ 走进同一个点双后，需要求一次最短距离而非直接在父亲会和。所以可以倍增求到 $u$ 走进点双的第一个点（即方点向 $u$ 点方向的儿子圆点）$u'$，同理求出 $v'$，利用处理的前缀和求到 $u'$ 到 $v'$ 的最短距离。那么答案就是 $\operatorname{dist}(u,u')+\operatorname{dist}(u',v')+\operatorname{dist}(v',v)$。

  详细题解：my solution（含带图的环上前缀和讲解）。

「HNOI 2009」「洛谷 P4410」无归岛

$\mathcal{Description}$

  Link.

  原题的题目描述愣是没看懂 qwq。

  给一个 $n$ 个点 $m$ 条边的仙人掌（或许有特殊性质，不过这里的解法不需要 www），点有点权，求带权最大独立集。

  $n\le10^5$，$m\le2\times10^5$。

$\mathcal{Solution}$

  和上上题几乎一样，把圆点的 $+1$ 改成 $+\max\{0,a_u\}$ 就好。

  我绝对不会告诉你我快读没判负数挂了三次 qwq。

  详细题解：看上上题的吧，再水一篇太过分了 www。