Solution -「SV 2020 Round I」SA

$\mathcal{Description}$

  求出处 owo。
  给定一个长度为 $n$，仅包含小写字母的字符串 $s$，问是否存在长度为 $n$，仅包含小写字母的字符串 $t$，使得 $t<s$ 且 $s,t$ 的后缀数组（$\text{Suffix Array}$，sa[]）相同。
  $n\le50$。（建议开到 $n\le2\times10^5$。

$\mathcal{Solution}$

奇怪的结论

  若存在 $t$，则存在一个 $t$，其与 $s$ 仅相差一个字符。考试的时候我猜出来了 w！

算法

  有了上面的结论就非常简单了。首先一个显而易见的特判：若 $s$ 的字符集不是小写字母的一段前缀，显然存在 $t$。
  然后，先求出原串的 sa[]。尝试让某个 $s_i$ 减小 $1$。显然，修改 $s_i$ 不影响 sa[]，需要保证 $\operatorname{suffix(i)}$ 是以 $s_i$ 开头的后缀中最小的。则满足条件的 $s_i$ 仅有字符集大小个。暴力修改这些 $s_i$，求出 sa2[] 与原来的 sa[] 比较即可。
  复杂度 $\mathcal O(|\mathit{\Sigma}|n\log n)$。标算是暴力 sort 求 sa[]，且尝试修改了所有的 $s_i$，复杂度 $\mathcal O(n^3\log n)$，并不优秀。

$\mathcal{Code}$

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>

#define YES() ( puts ( "Exists" ), exit ( 0 ) )
#define NO() ( puts ( "Does not exist" ), exit ( 0 ) )

const int MAXN = 50;
int n, sa[MAXN + 5];
char s[MAXN + 5];

inline void suffixSort ( int* sa ) {
	int m = 'z', x[200] {}, y[200] {}, c[200] {};
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) c[i] = 0;
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) ++ c[x[i] = s[i]];
	for ( int i = 1; i <= m; ++ i ) c[i] += c[i - 1];
	for ( int i = n; i; -- i ) sa[c[x[i]] --] = i;
	for ( int j = 1; j <= n; j <<= 1 ) {
		int cnt = 0;
		for ( int i = n - j + 1; i <= n; ++ i ) y[++ cnt] = i;
		for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) if ( sa[i] > j ) y[++ cnt] = sa[i] - j;
		for ( int i = 1; i <= m; ++ i ) c[i] = 0;
		for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) ++ c[x[i]];
		for ( int i = 1; i <= m; ++ i ) c[i] += c[i - 1];
		for ( int i = n; i; -- i ) sa[c[x[y[i]]] --] = y[i], y[i] = 0;
		std::swap ( x, y ), x[sa[1]] = 1, cnt = 1;
		for ( int i = 2; i <= n; ++ i ) {
			x[sa[i]] = cnt += y[sa[i]] ^ y[sa[i - 1]] || y[sa[i] + j] ^ y[sa[i - 1] + j];
		}
		if ( ( m = cnt ) == n ) break;
	}
}

inline void precheck () {
	bool used[26] {};
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) used[s[i] - 'a'] = true;
	for ( int i = 0, ue = false; i < 26; ++ i ) {
		if ( ue && used[i] ) YES ();
		ue |= ! used[i];
	}
}

inline void check () {
	int nsa[MAXN + 5] {};
	suffixSort ( nsa );
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) if ( nsa[i] ^ sa[i] ) return ;
	YES ();
}

int main () {
	freopen ( "sa.in", "r", stdin );
	freopen ( "sa.out", "w", stdout );
	scanf ( "%s", s + 1 ), n = strlen ( s + 1 );
	precheck (), suffixSort ( sa );
	for ( int i = 1, las = 'a', t; i <= n; ++ i ) {
		if ( s[sa[i]] == las ) continue;
		t = s[sa[i]], s[sa[i]] = las, check (), las = s[sa[i]] = t;
	}
	return NO (), 0;
}
```cpp