Solution -「CF 156D」Clues

$\mathcal{Description}$

  link.
  给一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图 $G$。设图上有 $k$ 个连通块，求出添加 $k-1$ 条边使得这些连通块全部连通的方案数。对给定的 $p$ 取模。
  $n,m\le10^5$。

$\mathcal{Solution}$

  $\text{Prufer}$ 序列，设第 $i$ 个连通块（可能是单点）的度数为 $d_i$，大小为 $s_i$。考虑连通块都是单点，方案数为：

$$k-2\choose d_1-1,d_2-1,\cdots,d_k-1$$

  即 $k-2$ 个可重元素的排列数。接下来考虑连通块的大小，每个连通块都可以选出一个点来连边。所以方案数应乘上 $s_i^{d_i}$。那么方案数：

$${k-2\choose d_1-1,d_2-1,\cdots,d_k-1}\prod_{i=1}^ks_i^{d_i}$$

  枚举 $t_i=d_i-1$：

$$\sum_{t_i\ge0\land\sum t_i=k-2}{k-2\choose t_1,t_2,\cdots,t_k}\prod_{i=1}^ks_i^{t_i+1}$$

  发现有一个 $k$ 元多项式 $\sum_{i=1}^ks_i$ 的 $k-2$ 次方，提出来：

$$\left(\sum_{i=1}^ks_i\right)^{k-2}\prod_{i=1}^ks_i$$

  显然 $\sum_{i=1}^ks_i=n$，所以答案：

$$n^{k-2}\prod_{i=1}^ks_i$$

$\mathcal{Code}$

  为什么不直接打并查集啊喂。

#include <cstdio>
#include <vector>

const int MAXN = 1e5, MAXM = 1e5;
int n, m, p, ecnt, head[MAXN + 5];
std::vector<int> siz;
bool vis[MAXN + 5];

struct Edge { int to, nxt; } graph[MAXM * 2 + 5];

inline void link ( const int s, const int t ) { graph[++ ecnt] = { t, head[s] }, head[s] = ecnt; }

inline int qkpow ( int a, int b ) {
	int ret = 1;
	for ( ; b; a = 1ll * a * a % p, b >>= 1 ) ret = 1ll * ret * ( b & 1 ? a : 1 ) % p;
	return ret;
}

inline int DFS ( const int u ) {
	if ( vis[u] ) return 0;
	int ret = vis[u] = true;
	for ( int i = head[u]; i; i = graph[i].nxt ) ret += DFS ( graph[i].to );
	return ret;
}

int main () {
	scanf ( "%d %d %d", &n, &m, &p );
	if ( p == 1 ) return puts ( "0" ), 0;
	for ( int i = 1, u, v; i <= m; ++ i ) {
		scanf ( "%d %d", &u, &v );
		link ( u, v ), link ( v, u );
	}
	int ans = 1;
	for ( int i = 1, t; i <= n; ++ i ) {
		if ( ! vis[i] ) {
			siz.push_back ( t = DFS ( i ) );
			ans = 1ll * ans * t % p;
		}
	}
	if ( siz.size () == 1 ) return puts ( "1" ), 0;
	ans = 1ll * ans * qkpow ( n, siz.size () - 2 ) % p;
	printf ( "%d\n", ans );
	return 0;
}