Note -「最大团-最小度不等式」

  这是什么奇怪的名字qwq。

一些定义

  只为便于理解，没有苛求专业的定义。

• 简单无向图：不存在重边、自环的无向图。

• $\delta(G)$：无向图 $G$ 中结点的最小度数。即 $\min\{d(u)|u\in V\}$。

• 完全图：两两结点都有且仅有一条直接连边的无向图。拥有 $n$ 个结点的完全图记作 $K_n$。

• 团：$G$ 的生成子图且为完全图。

• 最大团：是团且结点数最大。

  由于没有找到类似的定义，我们定义 $M(G)$ 为 $G$ 的最大团的结点数。

问题引入

  本来是一道小升初题，不过为了方便叙述以及保护读者的自尊心，我们直接抽象为图论模型。

  给定简单无向图 $G=(V,E)$，其中 $|V|=99,\delta(G)\ge67$，求证 $M(G)\ge4$。

证明

  小学二年级的知识呐！

  取 $(v_i,v_j)\in E$, 令:

$$A=\{v_k|(v_i,v_k)\in E\land v_k\not=v_j\}$$

$$B=\{v_k|(v_j,v_k)\in E\land v_k\not=v_i\}$$

  $\because \delta(G)\ge67\Rightarrow d(v_i),d(v_j)\ge67$.

  $\therefore |A|,|B|\ge66$.

  对于 $A,B$, 有全集 $I=\{v_k|v_k\not=v_i\land v_k\not=v_j\}$. 则 $|I|=|V|-2=97$.

  $\therefore |A\cap B|\ge\max\{|A|+|B|-|I|,0\}=35$.

  再取 $s\in A\cap B$.

  $\because|\complement_V(A\cap B)|\le64<66\le d(s)$.

  $\therefore(\exists t\in A\cap B)\left((s,t)\in E\right)$.

  $\therefore$ 此时 $\{v_i,v_j,s,t\}$ 在 $G$ 中的诱导子图是完全图.

  $\therefore\delta(G)\ge4$. QED.

初步推广

  当 $|V|=1751,\delta(G)\ge1314$，$M(G)\ge5$。

  留作习题owo！

  可以发现，由 $|V|$ 和 $\delta(G)$ 构成的分式似乎会与 $M(G)$ 产生联系……

推广结论

  对于任意简单无向图 $G=(V,E)$，有：

$$M(G)\ge\left\lceil\frac{|V|}{|V|-\delta(G)}\right\rceil$$

证明

  令 $n_0=\lceil\frac{|V|}{|V|-\delta(G)}\rceil$, 则只需证 $(\forall n\le n_0)(\exists K_n)\left(K_n\subseteq G\right)$ 即可.

  对 $n$ 归纳证明:

• $1).$ 当 $n=1$, 显然存在 $K_1$, 成立.

• $2).$ 设 $n=m-1<n_0$ 时存在 $K_m$, 成立, 考虑 $n=m$ 时:

    取任意 $K_m\subseteq G$, 令为 $K=(V_K,E_K)$. 不妨设在 $G$ 中, $v\in V_K$ 的结点为 $v_1,v_2,\dots v_m$.

    令集合 $\{A_m\}$, 其中 $A_i~(i=1,2,\dots,m)$ 有:

  $$A_i=\{v_j|v_j\not\in V_k\land(v_i,v_j)\in E\}$$

    $\because|V-V_K|=|V|-m,(\forall i)\left(|A_i|\ge\delta(G)-m+1\right)$.

    即全集大小为 $|V|-m$, 每个集合大小不小于 $\delta(G)-m+1$. 由集合交的最小大小公式 ( 自行脑补即可 ), 有:

  $$|\bigcap_{i=1}^mA_i|\ge\sum_{i=1}^m|A_i|-(m-1)(|V|-m)\\ \Rightarrow |\bigcap_{i=1}^mA_i|\ge m(\delta(G)-m+1)-(m-1)(|V|-m)\\ \Rightarrow |\bigcap_{i=1}^mA_i|\ge m\delta(G)-m|V|+|V|$$

    $\because m<n_0-1$.

    $\therefore m<\frac{|V|}{|V|-\delta(G)}\Rightarrow m(\delta(G)-|V|)+|V|>0\Rightarrow m\delta(G)-m|V|+|V|>0$.

    $\therefore|\bigcap_{i=1}^mA_i|>0$.

    $\therefore\exists s\in|\bigcap_{i=1}^mA_i|$. 此时 $\{v_1,v_2,\dots,v_m,s\}$ 在 $G$ 中的诱导子图构成 $K_{m+1}$.

    $\therefore n=m$ 时成立.

  由 $1).~2).$ 原命题成立, QED.

结语

  不知道这个结论对最大团算法有没有什么帮助w。

  本文命题及证明过程为笔者独立完成，目前没有在网上找到类似命题。如发现该命题或证明过程存在问题，或命题此前文献中出现，欢迎给笔者留言。

  然而一个初一（现在初二）学生的脑洞也不至于成 paper。