汉诺塔问题

起源

汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。

抽象为数学问题

如下图所示，从左到右有 A、B、C 三根柱子，A 柱子上面有 $n$ 个从小到大摆放的盘子，要求将 A 柱子上面的盘子移到 C 柱子上。其间，一个只能移动一个盘子且大盘子不能在小盘子上面，求移动的最小次数。

汉诺塔的原理

如果要将 A 柱的盘子移到 C 柱上，就必须上面 $n-1$ 个盘子移到 B 柱上面，然后将第 $n$ 个盘子移到 C 柱上。此时问题就成了将 $n-1$ 个盘子从 B 塔移到 C 塔的问题。

要解决 $n$ 层的汉诺塔，必须解决 $n-1$ 层的汉诺塔，···，必须解决 $1$ 层的汉诺塔（将盘子直接从塔 A 移到塔 B）。

解题步骤

1. 递归

#include<iostream>
 
using namespace std;
 
/**
 * @param n  汉诺塔的层数（即盘子的个数）
 * @param a  原来的塔
 * @param b  辅助塔
 * @param c  目标塔
*/
 
static int cnt = 0;
 
void move(int n, string a, string b){
  cout << ++cnt << ": "
       << "move disk " << n << " from " << a << " to " << b << endl;
}
 
void hanNuoTa(int n, string a, string b, string c){
    // 当盘子只有一个时
    if (n == 1)
      move(1, a, c);
    else{
      // 将 n-1 个盘子从塔 A 移到塔 B
      hanNuoTa(n - 1, a, c, b);
 
      // 将第 n 个盘子从塔 A 移到塔 C
      move(n, a, c);
 
      // 将 n-1 个盘子从塔 B 移到塔 C
      hanNuoTa(n - 1, b, a, c);
    }
}
 
int main(){
    hanNuoTa(3, "A", "B", "C");
    return 0;
}

2. 递推

设 $d[n]$ 表示求解该 $n$ 盘 3 塔问题的最少步数，容易得到 $d[n]=2\ast [n-1]+1$ ，即把前 $n-1$ 个盘子从 A 柱移到 C 柱，将第 $n$ 个盘子移到 C 柱，最后将 $n-1$个盘子从 B 柱移到 C 柱。

#include<iostream>
#include<vector>
 
using namespace std;
 
int main(){
  int n = 3;
  vector<int> d(n);
  d[0] = 1;
  for (int i = 1; i < n; ++i) d[i] = d[i - 1] * 2 + 1;
  cout << d[n-1] << endl;
  return 0;
}