3D数学基础:四元数与欧拉角之间的转换
在3D图形学中,最常用的旋转表示方法便是四元数和欧拉角,比起矩阵来具有节省存储空间和方便插值的优点。本文主要归纳了两种表达方式的转换,计算公式采用3D笛卡尔坐标系:
单位四元数可视化为三维矢量加上第四维的标量坐标 。其中,矢量部分等于单位旋转轴乘以旋转半角的正弦,标量部分等于旋转半角的余弦。
图1 3D Cartesian coordinate System (from wikipedia)
定义分别为绕Z轴、Y轴、X轴的旋转角度,如果用Tait-Bryan angle表示,分别为Yaw、Pitch、Roll。
图2 Tait-Bryan angles (from wikipedia)
一、四元数的定义
通过旋转轴和绕该轴旋转的角度可以构造一个四元数:
其中是绕旋转轴旋转的角度,
为旋转轴在x,y,z方向的分量(由此确定了旋转轴)。
二、欧拉角到四元数的转换
三、四元数到欧拉角的转换
arctan和arcsin的结果是,这并不能覆盖所有朝向(对于
角
的取值范围已经满足),因此需要用atan2来代替arctan。
四、在其他坐标系下使用
在其他坐标系下,需根据坐标轴的定义,调整一下以上公式。如在Direct3D中,笛卡尔坐标系的X轴变为Z轴,Y轴变为X轴,Z轴变为Y轴(无需考虑方向)。
五、示例代码
http://www.cppblog.com/Files/heath/Euler2Quaternion.rar
Demo渲染两个模型,左边使用欧拉角,右边使用四元数,方向键Up、Left、Right旋转模型。
VS2008下一个编译错误解决办法:
错误:#include "d3dx9.h"找不到该文件
解决办法:
- 将D3D9的头文件所在目录添加到项目包含目录中去,即C:\Program Files (x86)\Microsoft DirectX SDK (June 2010)\Include
- 将D3D9的32位库文件所在目录添加到项目库目录中去,即C:\Program Files (x86)\Microsoft DirectX SDK (June 2010)\Lib\x86
参考文献:
[1] Conversion between quaternions and Euler angles
[2] Ken Shoemake, Animating Rotation with Quaternion Curves, 1985
[3]四元数与欧拉角之间的转换
[4]四元数与旋转
[5]四元数与旋转
[6]【Unity技巧】四元数(Quaternion)和旋转
[7]Understanding Quaternions 中文翻译《理解四元数》
[8]四元数基础
[9]《3D数学基础:图形与游戏开发》(清华大学出版社)