两个高斯分布的和的分布——正态分布的再生性

本文主要推导两个高斯分布的相加结果。在知乎上有个问题：正态分布随机变量的和还是正态分布吗？ _ 也是本文主要解决的问题。

首先给出结论：

（1）正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量。

（2）正态随机变量的线性组合仍为正态随机变量。

（3）正态随机变量的乘积仍为正态随机变量。

高斯分布的概率密度函数：

 

 

 

直觉中，两个高斯（正态）随机变量的和似乎应该是两个概率密度函数的和，如下图所示，其结果就近似为两个概率密度的包络线，这明显是错误的，是用直觉推导数学，大错特错。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

在解决此问题前，我们需要搞清楚两个高斯函数的和的物理意义，这里用经典的投骰子作为为例子更好理解。

下面介绍两个高斯分布的和的分布——即正态分布的再生性的推导过程。

步骤1：连续型随机向量和的分布：

 

步骤2：正态分布的再生性的推导：

 

 

参考文献：两个高斯分布相加（卷积）的理论推导