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伯努利分布与二项分布

伯努利分布-Bernoulli distribution

　　伯努利分布是一种离散分布,有两种可能的结果。1表示成功，出现的概率为p(其中0<p<1)。0表示失败，出现的概率为q=1-p。

　　分布律：

　　性质：均值：E(X)=p

　　方差：var(X)=p(1-p)

二项分布-Binomial Distribution

　　二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n = 1时，二项分布就是伯努利分布。

　　概率质量函数：

　　一般地，如果随机变量 ${\mathit {X}}$

f(k;n,p)=\Pr(K=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}

对于k = 0, 1, 2, ..., n，其中 ${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

$期望和方差：$

$如果X~B(n, p)（也就是说，X是服从二项分布的随机变量），那么X的$

$\operatorname {E} [X]=np$

　　方差为： $\operatorname {Var} [X]=np(1-p).$

　　证明：首先假设有一个伯努利试验。试验有两个可能的结果：1和0，前者发生的概率为 p ，后者的概率为1 − p 。该试验的期望值等于μ = 1 · p + 0 · (1−p) = p 。该试验的方差也可以类似地计算： σ² = (1−p)²·p + (0−p)²·(1−p) = p(1 − p) .

　　一般的二项分布是n次独立的伯努利试验的和。它的期望值和方差分别等于每次单独试验的期望值和方差的和：