gym100801I Insider's Information

题意

要求构造大小为 \(n\) 的排列，要求至少 \(\lceil \frac{m}{2} \rceil\) 条限制：第 \(i\) 条限制 \((a_i,b_i,c_i)\) 形如排列中 \(b_i\) 的位置要在 \(a_i\) 和 \(c_i\) 之间。

题解

神仙题。

这个题一般确定排列的方法都不能用了，我们考虑这个在两个数中间的限制：考虑用按照顺序每次将一个数放到前面或者后面的方式。

因为保证有解，所以肯定能搞出来一个答案，也就肯定有一种放置顺序。我们假设我们知道了放置顺序，考虑如何去构造出答案，分类讨论一下：

假设一个限制中第一个被放入的数是 \(a_i\)，那么如果下一个数是 \(b_i\)，就要和 \(a_i\) 放在同侧，否则就要放在不同侧。

所以我们加入一个点的时候，算出它放在左边和右边分别能满足多少限制，选择最大的那个即可。这样相当于将所有限制分成若干组，每一组至少取了一半，所以满足题目限制。

现在问题在于如何找到这个放置顺序：发现如果在三元组内是 \(b_i\) 先出现，那么怎么放置都不满足条件，所以我们要求出的序列形如要求 \(a_i\) 或 \(c_i\) 出现在 \(b_i\) 之前，用类似拓扑排序的方法即可。

#include <bits/stdc++.h>

#define fi first
#define se second
#define db double
#define U unsigned
#define P std::pair<int,int>
#define LL long long
#define pb push_back
#define MP std::make_pair
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define FOR(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i)
#define ROF(i,a,b) for(int i = a;i >= b;--i)
#define DEBUG(x) std::cerr << #x << '=' << x << std::endl

const int MAXN = 2e5 + 5;
int n,m,a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN];
std::vector<int> G[MAXN],lim[MAXN];
int deg[MAXN];
int dfn[MAXN],p[MAXN];
bool zt[MAXN];// left=0 right=1
bool vis[MAXN];

int main(){
#ifndef RainAir
    freopen("insider.in","r",stdin);
    freopen("insider.out","w",stdout);
#endif
    scanf("%d%d",&n,&m);
    FOR(i,1,m){
        scanf("%d%d%d",a+i,b+i,c+i);
        G[a[i]].pb(i);
        G[c[i]].pb(i);
        ++deg[b[i]];
    }
    std::queue<int> q;int ts = 0;
    FOR(i,1,n) if(!deg[i]) q.push(i);
    while(!q.empty()){
        int v = q.front();q.pop();
        dfn[v] = ++ts;
        for(auto x:G[v]){
            if(vis[x]) continue;
            vis[x] = 1;
            if(!--deg[b[x]]){
                q.push(b[x]);
            }
        }
    }
    FOR(i,1,m) assert(!(dfn[b[i]] < dfn[a[i]] && dfn[b[i]] < dfn[c[i]]));
    FOR(i,1,n) p[dfn[i]] = i;
    FOR(i,1,m) if(dfn[a[i]] > dfn[c[i]]) std::swap(a[i],c[i]);
    FOR(i,1,m) lim[b[i]].pb(i),lim[c[i]].pb(i);
    FOR(i,1,n){
        int cnt[2];CLR(cnt,0);
        int v = p[i];
        for(auto x:lim[v]){
            if(v == b[x]){
                if(dfn[c[x]] < dfn[b[x]]) continue;
                cnt[zt[a[x]]]++;
            }
            if(v == c[x]){
                if(dfn[b[x]] < dfn[c[x]]) continue;
                cnt[zt[a[x]]^1]++;
            }
        }
        zt[v] = cnt[0] > cnt[1] ? 0 : 1;
    }
    std::vector<int> v1,v2;
    FOR(i,1,n){
        if(zt[p[i]]) v2.pb(p[i]);
        else v1.pb(p[i]);
    }
    std::reverse(all(v2));
    for(auto x:v1) printf("%d ",x);
    for(auto x:v2) printf("%d ",x);
    puts("");
    return 0;
}