扩展欧几里德算法解二元一次方程之B - 青蛙的约会

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

题目描述： 有一个首尾相连的环形数轴，规定一个原点0，两只青蛙的起跳位置分别问x和y，两个青蛙每跳一次所花时间都是1秒，跳一次的前进距离分别问m和n，
　　　　　 问两只青蛙是否会相遇，相遇所花的最短时间是多少

解题思路：假设k圈之后两个青蛙相遇，这时候都跳了T步
　　　　　那么(X+TM)-(Y+TN) = KL;(K = 0, 1, 2, 3, ……, n);
　　　　　化简为(N-M)*T + L*K = X - Y;
　　　　　设a = N - M;
　　　　　  b = L;
　　　　　　c = X - Y:
　　　　相当于解方程a*x + b*y = c;
　　　　如果gc = gcd(a, b) 是c的约数，那么这个方程有解，否则无解
　　　　一组解为x0 = x*c/gc;  y0 = y*c/gc;
　　　　通解为x = x0 + b/gc*t; y = y0-a*gc*t;

上代码：

#include <stdio.h>
#define LL long long
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        LL gc = exgcd(b, a%b, x, y);
        LL tmp = x;
        x = y;
        y = tmp - a/b*y;
        return gc;
    }
}
int main()
{
    LL X, Y, M, N, L;
    LL x, y;
    while(~scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &X, &Y, &M, &N, &L))
    {
        LL a = N - M;
        LL b = L;
        LL c = X - Y;
        LL gc = exgcd(a, b, x, y);
        if(c%gc)
            printf("Impossible\n");
        else
        {
            c /= gc;
            LL t = (c*x%b+b)%b;
            printf("%lld\n", t);
        }
    }
    return 0;
}